6 Esercizi

6.1 Esercizi dei singoli paragrafi

1 Definizioni fondamentali

7.1 Riduci in forma normale il seguente polinomio: $5 a^{3} - 4 a b - 1 + 2 a^{3} + 2 a b - a - 3 a^{3} .$ Svolgimento: Evidenziamo i termini simili e sommiamoli tra di loro: $\underline{5 a^{3}} - \overline{4 a b} + 1 + \underline{2 a^{3}} + \overline{2 a b} - a - \underline{3 a^{3}}$ in modo da ottenere ..........Il termine noto è ..........

7.2 Il grado di:

$x^{2} y^{2} - 3 y^{3} + 5 y x - 6 y^{2} x^{3}$ rispetto alla lettera $y$ è .........., il grado complessivo è ..........
$5 a^{2} - b + 4 a b$ rispetto alla lettera $b$ è .........., il grado complessivo è ..........

7.3

Stabilire quali dei seguenti polinomi sono omogenei:

$x^{3} y + 2 y^{2} x^{2} - 4 x^{4}$
$2 x + 3 - x y$
$2 x^{3} y^{3} - y^{4} x^{2} + 5 x^{6}$

7.4

Individuare quali dei seguenti polinomi sono ordinati rispetto alla lettera $x$ con potenze crescenti:

$2 - \frac{1}{2} x^{2} + x$
$\frac{2}{3} - x + 3 x^{2} + 5 x^{3}$
$3 x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + 2 x^{2} - x + \frac{7}{8}$

7.5 Relativamente al polinomio $b^{2} + a^{4} + a^{3} + a^{2}$ :

Il grado massimo è …. Il grado rispetto alla lettera $a$ è …Rispetto alla lettera $b$ è …
il polinomio è ordinato rispetto alla a?
è completo?
è omogeneo?

7.6 Scrivere un polinomio di terzo grado nelle variabili $a$ e $b$ che sia omogeneo.

7.7 Scrivere un polinomio di quarto grado nelle variabili $x$ e $y$ che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze decrescenti della seconda indeterminata.

7.8 Scrivere un polinomio di quinto grado nelle variabili $r$ e $s$ che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima indeterminata.

7.9 Scrivere un polinomio di quarto grado nelle variabili $z$ e $w$ che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima indeterminata e decrescenti della seconda.

7.10 Scrivere un polinomio di sesto grado nelle variabili $x$ , $y$ e $z$ che sia completo e ordinato secondo le potenze decrescenti della seconda variabile.

7.11

Calcola il valore numerico dei polinomi per i valori a fianco indicati.

$x^{2} + x$ per $x = - 1$
$2 x^{2} - 3 x + 1$ per $x = 0$
$3 x^{2} - 2 x - 1$ per $x = 2$
$3 x^{3} - 2 x + x$ per $x = - 2$
$\frac{3}{4} a + \frac{1}{2} b - \frac{1}{6} a b$ per $a = - \frac{1}{2}$ , $b = 3$
$4 x - 6 y + \frac{1}{5} x^{2}$ per $x = - 5$ , $y = \frac{1}{2}$

2 Somma algebrica di polinomi

7.12

Calcolare la somma dei due polinomi: $2 x^{2} + 5 - 3 y^{2} x$ , $x^{2} - x y + 2 - y^{2} x + y^{3}$

Svolgimento: Indichiamo la somma $(2 x^{2} + 5 - 3 y^{2} x) + (x^{2} - x y + 2 - y^{2} x + y^{3})$ , eliminando le parentesi otteniamo il polinomio $2 x^{2} + 5 - 3 y^{2} x + x^{2} - x y + 2 - y^{2} x + y^{3}$ , sommando i monomi simili otteniamo $3 x^{2} - 4 x^{\dots} y^{\dots} - \dots x y + y^{3} + \dots$

7.13 Esegui le seguenti somme di polinomi.

$a + b - b$
$a + b - 2 b$
$a + b - (- 2 b)$
$a - (b - 2 b)$
$2 a + b + (3 a + b)$
$2 a + 2 b + (2 a + b) + 2 a$
$2 a + b - (- 3 a - b)$
$2 a - 3 b - (- 3 b - 2 a)$
$(a + 1) - (a - 3)$

7.14

Esegui le seguenti somme di polinomi.

$(2 a^{2} - 3 b) + (4 b + 3 a^{2}) + (a^{2} - 2 b)$
$(3 a^{3} - 3 b^{2}) + (6 a^{3} + b^{2}) + (a^{3} - b^{2})$
$(\frac{1}{5} x^{3} - 5 x^{2} + \frac{1}{5} x - 1) - (3 x^{3} - \frac{7}{3} x^{2} + \frac{1}{4} x - 1)$
$(\frac{1}{2} + 2 a^{2} + x) - (\frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{2} a x) + [- (- \frac{3}{2} - 2 a x + x^{2}) + \frac{1}{3} a^{2}] - (\frac{3}{2} a x + 2)$
$(\frac{3}{4} a + \frac{1}{2} b - \frac{1}{6} a b) - (\frac{9}{8} a b + \frac{1}{2} a^{2} - 2 b) + a b - \frac{3}{4} a$

3 Prodotto di un polinomio per un monomio

7.15 Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio.

$(a + b) b$
$(a - b) b$
$(a + b) (- b)$
$(a - b + 51) b$
$(- a - b - 51) (- b)$
$(a^{2} - a) a$
$(a^{2} - a) (- a)$
$(a^{2} - a - 1) a^{2}$
$(a^{2} b - a b - 1) (a b)$
$(a b - a b - 1) (a b)$
$(a^{2} b - a b - 1) (a^{2} b^{2})$
$(a^{2} b - a b - 1) (a b)^{2}$
$a b (a^{2} b - a b - 1) a b$
$- 2 a (a^{2} - a - 1) (- a^{2})$
$(x^{2} a - a x + 2) (2 x^{2} a^{3})$

7.16 Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio.

$\frac{3}{4} x^{2} y \cdot (2 x y + \frac{1}{3} x^{3} y^{2})$
$(\frac{a^{4}}{4} + \frac{a^{3}}{8} + \frac{a^{2}}{2}) (2 a^{2})$
$(\frac{1}{2} a - 3 + a^{2}) (- \frac{1}{2} a)$
$(5 x + 3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) (3 x^{2} y)$
$(\frac{2}{3} x y^{2} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{4} x y) (6 x y)$
$- \frac{1}{3} y (6 x^{2} y - 3 x y)$
$- 3 x y^{2} (\frac{1}{3} x + 1)$
$(\frac{7}{3} b - b) (a - \frac{1}{2} b + 1) (3 a - 2 a)$

4 Quoziente tra un polinomio e un monomio

7.17 Svolgi le seguenti divisioni tra polinomi e monomi.

$(2 x^{2} y + 8 {x y}^{2}) : (2 x y)$
$(a^{2} + a) : a$
$(a^{2} - a) : (- a)$
$(\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}) : \frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}) : 2$
$(2 a - 2) : \frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2} a - \frac{a^{2}}{4}) : \frac{a}{2}$

7.18 Svolgi le seguenti divisioni tra polinomi e monomi.

$(a^{2} - a) : a$
$(a^{3} + a^{2} - a) : a$
$(8 a^{3} + 4 a^{2} - 2 a) : 2 a$
$(a^{3} b^{2} + a^{2} b - a b) : b$
$(a^{3} b^{2} - a^{2} b^{3} - a b^{4}) : (- {a b}^{2})$
$(a^{3} b^{2} + a^{2} b - a b) : a b$
$(16 x^{4} - 12 x^{3} + 24 x^{2}) : (4 x^{2})$
$(- x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 5) : (- 5)$

7.19

Svolgi le seguenti divisioni tra polinomi e monomi.

$[(- 3 a^{2} b^{3} - 2 a^{2} b^{2} + 6 a^{3} b^{2}) : (- 3 a b)] \cdot (\frac{1}{2} b^{2})$
$(\frac{4}{3} a^{2} b^{3} - \frac{3}{4} a^{3} b^{2}) : (- \frac{3}{2} a^{2} b^{2})$
$(2 a + \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{4}) : (\frac{a}{2})$
$(\frac{1}{2} a - \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{3}}{8}) : (\frac{1}{2} a)$
$(- 4 x + \frac{1}{2} x^{3}) (2 x^{2} - 3 x + \frac{1}{2})$
$(a^{3} b^{2} - a^{4} b + a^{2} b^{3}) : (a^{2} b)$
$(a^{2} - a^{4} + a^{3}) : (a^{2})$

5 Prodotto di polinomi

7.20 Esegui i seguenti prodotti di polinomi.

$(\frac{1}{2} a^{2} b - 2 {a b}^{2} + \frac{3}{4} a^{3} b) \cdot (\frac{1}{2} a b)$
$(x^{3} - x^{2} + x - 1) (x - 1)$
$(a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a + b)$
$(a - 1) (a - 2) (a - 3)$
$(a + 1) (2 a - 1) (3 a - 1)$
$(a + 1) (a^{2} + a) (a^{3} - a^{2})$

6.2 Esercizi riepilogativi

7.21 Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

$(- a - 1 - 2) - (- 3 - a + a)$
$(2 a^{2} - 3 b) - [(4 b + 3 a^{2}) - (a^{2} - 2 b)]$
$(2 a^{2} - 5 b) - [(2 b + 4 a^{2}) - (2 a^{2} - 2 b)] - 9 b$
$3 a [2 (a - 2 a b) + 3 a (\frac{1}{2} - 3 b) - \frac{1}{2} a (3 - 5 b)]$
$2 (x - 1) (3 x + 1) - (6 x^{2} + 3 x + 1) + 2 x (x - 1)$

7.22 Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

$(\frac{1}{3} x - 1) (3 x + 1) - 2 x (\frac{5}{4} x - \frac{1}{2}) (x + 1) - \frac{1}{2} x (x - \frac{2}{3})$
$(b^{3} - b) (x - b) + (x + b) (a b^{2} - a) + (b + a) (a b - a b^{3}) + 2 a b (b - b^{3})$
$a b (a^{2} - b^{2}) + 2 b (x^{2} - a^{2}) (a - b) - 2 b x^{2} (a - b)$
$(\frac{3}{2} x^{2} y - \frac{1}{2} x y) (2 x - \frac{1}{3} y) 4 x$
$(\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} a^{2}) (1 - a) [a^{2} + 2 a - (a^{2} + a + 1)]$

7.23 Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

$(1 - 3 x) (1 - 3 x) - (- 3 x)^{2} + 5 (x + 1) - 3 (x + 1) - 7$
$3 (x - \frac{1}{3} y) [2 x + \frac{1}{3} y - (x - 2 y)] - 2 (x - \frac{1}{3} y + 2) (2 x + 3 y)$
$\frac{1}{24} (29 x + 7) - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (x - 3) (x - 3) - 2 - [\frac{1}{3} - \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x + \frac{2}{3})]$
$- \frac{1}{4} (2 a b x + 2 a^{2} b^{2} + 3 a x) + a^{2} (b^{2} + x^{2}) - [{(\frac{1}{3} a x)}^{2} - {(\frac{2}{3} b x)}^{2}]$
$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y - \frac{3}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y + \frac{3}{5}) - [{(\frac{1}{3} x)}^{2} - {(\frac{1}{2} y)}^{2}]$

7.24 Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

$(\frac{1}{2} x - 1) (\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1) + {(- \frac{1}{2} x)}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x + 1)$
$(3 a - 2) (3 a + 2) - (a - 1) (2 a - 2) + a (a - 1) (a^{2} + a + 1)$
$- 4 x (5 - 2 x) + (1 - 4 x + x^{2}) (1 - 4 x - x^{2})$
$- (2 x - 1) (2 x - 1) + {[x^{2} - (1 + x^{2})]}^{2} - (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$

7.25 Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

$4 (x + 1) - 3 x (1 - x) - (x + 1) (x - 1) - (4 + 2 x^{2})$
$\frac{1}{2} (x + 1) + \frac{1}{4} (x + 1) (x - 1) - (x^{2} - 1)$
$(3 x + 1) (\frac{5}{2} + x) - (2 x - 1) (2 x + 1) (x - 2) + 2 x^{3}$

7.26 Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

$(a - \frac{1}{2} b) a^{3} - (\frac{1}{3} a b - 1) [2 a^{2} (a - b) - a (a^{2} - 2 a b)]$
$(3 x^{2} + 6 x y - 4 y^{2}) (\frac{1}{2} x y - \frac{2}{3} y^{2})$
$(2 a - 3 b) (\frac{5}{4} a^{2} + \frac{1}{2} a b - \frac{1}{6} b^{2}) - \frac{1}{6} a (12 a^{2} - \frac{18}{5} b^{2}) + \frac{37}{30} a b^{2} - \frac{1}{2} a (a^{2} - \frac{11}{2} a b)$
$\frac{1}{3} x y [(x - y^{2}) (x^{2} - \frac{1}{2} y) - 3 x (- \frac{1}{9} x y) (3 y)] - \frac{1}{3} x (x^{3} y + \frac{1}{4} x y^{2})$

7.27 Se $A = x - 1$ , $B = 2 x + 2$ , $C = x^{2} - 1$ determina

$A + B + C$
$A \cdot B - C$
$A + B \cdot C$
$A \cdot B \cdot C$
$2 A C - 2 B C$
$(A + B) \cdot C$

7.28

Operazioni tra polinomi con esponenti letterali.

$(a^{n + 1} - a^{n + 2} + a^{n + 3}) : (a^{1 + n})$
$(1 + a^{n + 1}) (1 - a^{n - 1})$
$(16 a^{n + 1} b^{n + 2} - 2 a^{2 n} b^{n + 3} + 5 a^{n + 2} b^{n + 1}) : (2 a^{n} b^{n})$
$(a^{n + 1} - a^{n + 2} + a^{n + 3}) (a^{n + 1} - a^{n})$
$(a^{n} - a^{n + 1} + a^{n + 2}) (a^{n + 1} - a^{n - 1})$
$(a^{n} + a^{n + 1} + a^{n + 2}) (a^{n + 1} - a^{n})$
$(a^{n + 2} + a^{n + 1}) (a^{n + 1} + a^{n + 2})$
$(1 + a^{n + 1}) (a^{n + 1} - 2)$
$(a^{n + 1} - a^{n}) (a^{n + 1} + a^{n}) (a^{2 n + 2} + a^{2 n})$
$(\frac{1}{2} x^{n} - \frac{3}{2} x^{2 n}) (\frac{1}{3} x^{n} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} x^{n} - 1) (x^{n} + x)$

7.29 Se si raddoppiano i lati di un rettangolo, come varia il suo perimetro?

7.30 Se si raddoppiano i lati di un triangolo rettangolo, come varia la sua area?

7.31 Se si raddoppiano gli spigoli $a$ , $b$ , e $c$ di un parallelepipedo, come varia il suo volume?

7.32 Come varia l’area di un cerchio se si triplica il suo raggio?

7.33 Determinare l’area di un rettangolo avente come dimensioni $\frac{1}{2} a$ e $\frac{3}{4} a^{2} b$

7.34 Determinare la superficie laterale di un cilindro avente raggio di base $x^{2} y$ e altezza $\frac{1}{5} {x y}^{2}$

6.3 Risposte

14

d) $- x^{2} + x + \frac{29}{15} a^{2}$ ,
e) $- \frac{a^{2}}{2} - \frac{7}{24} a b + \frac{5}{2} b$

21

a) $- a$ , b) $- 9 b$ , c) $- 18 b$ ,
d) $6 a^{2} - \frac{63}{2} a^{2} b$ , e) $2 x^{2} - 9 x - 3$

26

a) $a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} b - \frac{1}{3} a^{4} b + a^{3}$ ,
b) $\frac{3}{2} x^{3} y + x^{2} y^{2} - 6 {x y}^{3} + \frac{8}{3} y^{4}$ ,
c) $\frac{1}{2} b^{3}$ , d) $\frac{1}{6} x y^{4} - \frac{1}{4} x^{2} y^{2}$

28

a) $1 - a + a^{2}$ ,
b) $1 - a^{n - 1} + a^{n + 1} - a^{2} n$ ,
c) $8 a b^{2} - a^{n} b^{3} + \frac{5}{2} a^{2} b$ ,
d) $a^{2 n + 4} - 2 a^{2 n + 3} + 2 a^{2 n + 2} - a^{2 n + 1}$ ,
e) $a^{2 n + 3} - a^{2 n + 2} - a^{2 n - 1} + a^{2 n}$ ,
f) $- a^{2} n + a^{2 n + 3}$ ,
g) $a^{2 n + 4} + 2 a^{2 n + 3} + a^{2 n + 2}$ ,
i) $a^{2 n + 2} - a^{n + 1} - 2$ , h) $a^{4 n + 4} - a^{4 n}$ ,
j) $\frac{7}{12} x^{2 n} + \frac{3}{4} x^{n} - \frac{1}{2} x^{3 n} - \frac{1}{3} x^{n + 1} + x$