1 Definizioni fondamentali
Definizione 7.1 Un polinomio è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi.
Esempio 7.1 Sono polinomi: , , , .
Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale.
Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado 0 che viene comunemente chiamato termine noto.
Esempio 7.2 Il polinomio ridotto in forma normale diventa . Il termine noto è .
Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.
Esempio 7.3 Binomi, trinomi, quadrinomi.
- è un binomio;
- è un trinomio;
- è un quadrinomio.
Definizione 7.2 Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono uguali, più precisamente vale il principio di identità dei polinomi: due polinomi e sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili.
Se due polinomi sono invece formati da termini opposti, allora si dicono polinomi opposti.
Definiamo, inoltre, un polinomio nullo quando i suoi termini sono a coefficienti nulli. Il polinomio nullo coincide con il monomio nullo e quindi con il numero 0.
Esempio 7.4 Polinomi uguali, opposti, nulli.
- I polinomi sono uguali;
- i polinomi sono opposti;
- il polinomio è un polinomio nullo, infatti riducendolo in forma normale otteniamo il monomio nullo .
Definizione 7.3 Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, grado di un polinomio rispetto ad una data lettera l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio, dopo che è stato ridotto a forma normale.
Esempio 7.5 Grado di un polinomio.
Il polinomio ha grado complessivo perché il monomio con grado massimo è , che è un monomio di quarto grado;
il grado del polinomio rispetto alla lettera è perché l’esponente più grande con cui tale lettera compare è .
Definizione 7.4 Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado.
Esempio 7.6 Il polinomio è un polinomio omogeneo di grado .
Definizione 7.5 Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera, quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra.
Esempio 7.7 Il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera , e secondo le potenze crescenti della lettera .
Definizione 7.6 Un polinomio di grado rispetto ad una data lettera si dice completo se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a , compreso il termine noto.
Esempio 7.8 Il polinomio è completo di grado e inoltre risulta ordinato rispetto alla lettera . Il termine noto è .
Osservazione Ogni polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa: l’ordinamento si può effettuare in virtù della proprietà commutativa della somma, mentre la completezza si può ottenere mediante l’introduzione dei termini dei gradi mancanti con coefficiente uguale a .
Per esempio, il polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa come .