4 Esercizi

4.1 Esercizi dei singoli paragrafi

1 Espressioni letterali

Figura 5.1: Esercizio 1

Figura 5.2: Esercizio 10

Figura: TODO

5.1

Esprimi con una formula l’area della superficie della zona colorata, indicando con $l$ la misura del lato $A B$ e con $b$ la misura di $A C$

Svolgimento: l’area del quadrato è ……, l’area di ciascuno dei quadratini bianchi è ……. Pertanto l’area della superficie in grigio è ……

5.2

Scrivi l’espressione algebrica letterale relativa alla frase “eleva al quadrato la differenza tra il cubo di un numero e il doppio del suo quadrato”.

Svolgimento: detto $a$ il numero generico, il cubo di $a$ si indica con …, il doppio quadrato di $a$ si indica con …e infine il quadrato della differenza sarà: …

5.3

Traduci in parole della lingua italiana il seguente schema di calcolo: $(a - b)^{3}$

Svolgimento: “Eleva al ……la differenza tra ……”

5.4 Individua tra le espressioni letterali sottostanti, quelle scritte correttamente:

$b \cdot \frac{4}{5} + (3 - \frac{7}{2}) \cdot a - a$
$a \cdot + 2 - b^{4}$
$x \cdot (a - b)^{2} + (x - 3)$
$x^{y} - a : 2$
$- a + 4 b + c$
$\frac{a \cdot 1}{2} - \frac{a}{2}$

5.5 Collega con una freccia la proprietà dell’operazione con la sua scrittura attraverso lettere:

Commutativa dell’addizione
Associativa della moltiplicazione
Distributiva prodotto rispetto alla somma

a \cdot (x + y) = a \cdot x + a \cdot y

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

a + b = b + a

5.6

Esprimere con le lettere la proprietà commutativa della moltiplicazione

Svolgimento: “considerati $a$ e $b$ due numeri qualsiasi, la proprietà commutativa si esprime per mezzo dell’espressione ……; cioè ………”

5.7 Scrivi la formula che ci permette di calcolare l’area di un trapezio avente base maggiore $B = 5 cm$ , base minore $b = 2 cm$ e altezza $h = 4 cm$

5.8 Scrivi la formula che permette di calcolare il lato di un quadrato di perimetro $l$

5.9

Determina l’altezza $h$ relativa all’ipotenusa $B C$ del triangolo rettangolo $A B C$

Caso numerico: $\overline{A B} = 8 m$ , $\overline{A C} = 15 m .$

Caso generale: Indica con $x$ e $y$ le misure dei cateti, e determina la formula per calcolare la misura di $h_{i}$

5.10

Il volume della scatola (figura 5.2) avente le dimensioni di $7 cm$ , $10 cm$ , $2 cm$ è $\dots$

Generalizza la questione indicando con $a$ , $b$ , $c$ la misura delle sue dimensioni ……

Se raddoppiamo ciascuna dimensione allora il volume diventa

$2 \cdot a \cdot b \cdot c$
$a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}$
$6 \cdot a \cdot b \cdot c$
$8 \cdot a \cdot b \cdot c$

5.11 Scrivi sotto forma di espressioni letterali le seguenti frasi:

moltiplica $a$ per l’opposto del cubo di $a$ :
somma al triplo di $a$ il doppio quadrato di $b$
moltiplica l’inverso di $b$ per il quadrato dell’inverso di $a$
somma al cubo di $a$ il quadrato della somma di $a$ e $b$
dividi il quadrato di $a$ per il triplo cubo di $b$
moltiplica il quadrato di $b$ per l’inverso del cubo di $a$
il cubo di un numero, aumentato di 2, è uguale al quadrato della differenza tra lo stesso numero e uno;
il reciproco della somma dei quadrati di $a$ e di $b$
il cubo della differenza tra 1 e il cubo di $a$
la somma dei quadrati di $a$ e di $b$ per il quadrato della differenza tra $a$ e $b$

2 Valore numerico di un’espressione letterale

5.12

Consideriamo l’espressione letterale $E = - 3 \cdot a + 2 \cdot (- a + 1)$

Osserviamo che vi compare una sola variabile, la lettera $a$ supponiamo che $E$ rappresenti uno schema di calcolo tra numeri interi relativi. Determiniamo il valore dell’espressione per alcuni valori della variabile:

\begin{matrix} a = - 2 \to & E = - 3 \cdot (- 2) + 2 \cdot (- (- 2) + 1) = 6 + 2 \cdot (2 + 1) = 6 + 6 = 12 \\ a = + 1 \to & E = - 3 \cdot (1) + 2 \cdot (- (1) + 1) = - 3 + 2 \cdot (- 1 + 1) = - 3 + 0 = - 3 \\ a = - 1 \to & E = - 3 \cdot (\dots) + 2 \cdot (\dots + 1) = \dots \dots \dots \end{matrix}

Completa la seguente tabella.

$a$	$- 2$	$1$	$- 1$	$0, 1$	$\frac{4}{5}$	$- \frac{7}{5}$	$- 11$	$0$
$E = - 3 a + 2 (- a + 1)$	$12$	$- 3$

5.13

Calcolare il valore numerico dell’espressione: $\frac{a}{a - 3} + \frac{b}{3 - b}$ per $a = - 1$ , $b = 0$

Svolgimento: $\frac{- 1}{- 1 - 3} + \frac{0}{3 - 0} = \dots \dots$

5.14

Calcola il valore dell’espressione $E = \frac{x - y}{3 x}$ costruita con le variabili $x$ e $y$ che rappresentano numeri razionali. L’espressione letterale assegnata traduce il seguente schema di calcolo: “la divisione tra la differenza di due numeri e il triplo del primo numero”. Completa la seguente tabella:

$x$	$\frac{3}{4}$	$\frac{19}{3}$	$\frac{3}{4}$	$- 4$	$\dots$	$\dots$
$y$	$- 2$	$0$	$0$	$- 2$	$\dots$	$\dots$
$E = \frac{x - y}{3 x}$

Ti sarai accorto che in alcune caselle compare lo stesso valore per $E$ : perché secondo te succede questo fatto?

Vi sono, secondo te, altre coppie che fanno assumere ad $E$ quello stesso valore?

5.15 Scrivi con una frase le seguenti espressioni

$2 b - 5 a$
$a \frac{1}{a}$
$(a + b)^{2}$
$\frac{3 x + y}{2 x^{2}}$

5.16

Completa la tabella sostituendo nella espressione della prima colonna i valori indicati.

Espressione	$x = 1$	$x = - 1$	$x = 0$	$x = 2$	$x = \frac{1}{2}$	$x = - \frac{1}{2}$	$x = 0, 1$	$x = \frac{1}{10}$
$2 x + 1$
$- (3 x - 2)$
$x^{2} + 2 x + 2$
$x^{2} - x$
$- x^{2} + x - 1$
$x^{3} - 1$
$x^{3} + 3 x^{2}$
$- x^{3} + x^{2} - x$
$- (x + 1)^{2}$

5.17 Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

$3 x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}$ per $x = \frac{1}{2}$ Svolgimento: $3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = \dots \dots \dots = \frac{11}{16}$
$5 a^{2} b$ per $a = - \frac{1}{2}$ , $b = \frac{3}{5}$ Svolgimento: $5 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot (\frac{3}{5}) = \dots \dots \dots \dots$
$\frac{3}{2} \cdot a^{2} + \frac{1}{2} a - 1$ per $a = 0$ , per $a = - 1$ e $a = 2$
$2 \cdot x^{5} - 8 \cdot x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 7 \cdot x + 8$ per $x = + 1$ e $x = - 1$

5.18 Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

$(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$ per $x = 0$ , $x = - 1$ e $x = 2$
$x^{2} + 2 x + 1$ per $x = 0$ , $x = - 1$ e $x = 1$
$- a^{2} \cdot b \cdot c^{3}$ per $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = - 2$ e $a = - 1$ , $b = \frac{9}{16}$ , $c = \frac{4}{3}$
$- \frac{3}{2} a + 2 b^{2} + 11$ per $a = - 20$ , $b = - \frac{1}{2}$ e $a = \frac{2}{3}$ , $b = 0$
$- a^{2} + \frac{1}{a} - 3 \cdot a^{3}$ per $a = \frac{1}{3}$ , $a = - 1$ e $a = + 1$

5.19 Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

$4 a + a^{3}$ per $a = 2$ e $a = 1$ [2; 5]
$2 a + 5 a^{2}$ per $a = - 1$ e $a = 0$ [3; 0]
$3 x + 2 y^{2} (x y)$ per $x = 1$ , $y = - \frac{1}{2}$ e $x = \frac{1}{3}$ , $y = - 1$ [ $\frac{11}{4}$ ]
$a^{2} - b^{- 1} + a b$ per $a = 1$ , $b = \frac{1}{2}$ e $a = 0$ , $b = - 1$ [ $- \frac{1}{2}$ ]
$3 a^{2} b - 7 a b + a$ per $a = 1$ , $b = 3$ e $a = - 1$ , $b = - 3$ [-11]

5.20 Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

$3 x y - 2 x^{2} + 3 y^{2}$ per $x = \frac{1}{2}$ , $y = 2$ e $x = 2$ , $y = \frac{1}{2}$ [ $\frac{29}{2}$ ]
$\frac{2}{3} a (a^{2} - b^{2})$ per $a = - 3$ , $b = - 1$ e $a = \frac{1}{3}$ , $b = 0$ [ $- 16$ ]
$\frac{x y}{x} + 3 x y^{3}$ per $x = 2$ , $y = - 1$ e $x = - 2$ , $y = + 1$ [ $- 7$ ]
$\frac{1}{2} \frac{(a + b)^{2}}{a^{2} b^{2}} + 2 a + 3 b$ per $a = \frac{1}{4}$ , $b = - 2$ e $a = \frac{1}{2}$ , $b = - \frac{1}{2}$ [ $\frac{5}{8}$ ]
$3 x^{3} + 2 x y (\frac{x^{2}}{y}) + 2 y^{2}$ per $x = - 2$ , $y = \frac{3}{4}$ e $x = - 1$ , $y = - 1$ [ $\frac{311}{8}$ ]

5.21 Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

$\frac{4 a - 7 b}{(2 a + 3 b)^{3}} \cdot a b^{3}$ per $a = - \frac{1}{2}$ , $b = 1$ e $a = - \frac{1}{4}$ , $b = \frac{2}{3}$ [ $\frac{9}{16}$ ]
$\frac{4 x^{2} - 5 x y + 3 y}{6 x + y^{2}}$ per $x = - 1$ , $y = 2$ e $x = 0$ , $y = - 2$ [-10]
$\frac{x}{x + 3} + y^{2} - \frac{x y - 3 x + y}{(xy)^{2}}$ per $x = 3$ , $y = \frac{1}{3}$ e $x = 1$ , $y = - 1$ [ $\frac{149}{18}$ ]
$\frac{(4 a - 2 b) \cdot 2 a^{2}}{3 b^{3}} \cdot \frac{3}{4} a b + a^{3}$ per $a = 1$ , $b = - 1$ e $a = 0$ , $b = - 3$ [4]

3 Condizione di esistenza di un’espressione letterale

5.22 Se $E = - \frac{x - 2}{2} x^{2}$ completa la tabella:

$x$	2	0	$\frac{3}{4}$	$- \frac{5}{8}$
E

5.23

Calcola il valore numerico dell’espressione: $\frac{3 x - 1}{x}$ per $x = 0$

Svolgimento: Sostituendo alla $x$ il valore assegnato si ha una divisione per …e quindi ..........

5.24 Sostituendo alle lettere i numeri, a fianco indicati, stabilisci se le seguenti espressioni hanno significato:

$\frac{x + 3}{x}$ per $x = 0 .$ Si No
$\frac{x^{2} + y}{x}$ per $x = 3, y = 0 .$ Si No
$\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}$ per $a = 1, b = 1$ Si No
$\frac{5 x^{2} + 3 y - x y}{(x^{2} + y)^{3}}$ per $x = 2, y = - 2$ Si No
$\frac{a^{3} + b + 6 a^{2}}{a^{2} + b^{2} + 3 a b - 3 a^{2}}$ per $a = 1, b = \frac{4}{3}$ Si No

5.25 Sostituendo alle lettere numeri razionali arbitrari, determina se le seguenti uguaglianze tra formule sono vere o false

$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2}$ V F
$(a - b) \cdot (a^{2} + a \cdot b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ V F
$(5 a - 3 b) \cdot (a + b) = 5 a^{2} + a b - 3 b^{2}$ V F

5.26 Se $n$ è un qualunque numero naturale, l’espressione $2 \cdot n + 1$ dà origine:

A ad un numero primo

B ad un numero dispari

C ad un quadrato perfetto

D ad un numero divisibile per 3

5.27 Quale formula rappresenta un multiplo di 5, qualunque sia il numero naturale $n$ ?

5 + n

n^{5}

5 \cdot n

\frac{n}{5}

5.28

La tabella mostra i valori assunti da $y$ al variare di $x$ Quale delle seguenti è la relazione tra $x$ e $y$ ?

$x$	1	2	3	4
$y$	0	3	8	15

A $y = x + 1$ B $y = x^{2} - 1$ C $y = 2 x - 1$ D $y = 2 x^{2} - 1$

5.29 Verifica che sommando tre numeri dispari consecutivi si ottiene un multiplo di 3. Utilizza terne di numeri dispari che cominciano per 3; 7; 11; 15; 21. Per esempio $3 + 5 + 7 = \dots$ multiplo di? Vero. Continua tu.