4 Esercizi

4.1 Esercizi dei singoli paragrafi

1 Identità ed equazioni

4.1

Risolvi in $ℤ$ la seguente equazione: $- x + 3 = - 1$

Suggerimento. Lo schema operativo è: entra $x$ , cambia il segno in $- x$ , aggiunge $3$ , si ottiene $- 1$ Ora ricostruisci il cammino inverso: da $- 1$ togli $3$ ottieni …cambia segno ottieni come soluzione $x = \dots$

2 Prinicipi di equivalenza

4.2 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 1° principio di equivalenza.

$x + 2 = 7$
$2 + x = 3$
$16 + x = 26$
$x - 1 = 1$
$3 + x = - 5$
$12 + x = - 22$

4.3 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 1° principio di equivalenza.

$3 x = 2 x - 1$
$8 x = 7 x + 4$
$2 x = x - 1$
$5 x = 4 x + 2$
$3 x = 2 x - 3$
$3 x = 2 x - 2$

4.4 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 1° principio di equivalenza.

$7 + x = 0$
$7 = - x$
$- 7 = x$
$1 + x = 0$
$1 - x = 0$
$0 = 2 - x$

4.5 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 1° principio di equivalenza.

$3 x - 1 = 2 x - 3$
$7 x - 2 x - 2 = 4 x - 1$
$- 5 x + 2 = - 6 x + 6$
$- 2 + 5 x = 8 + 4 x$
$7 x + 1 = 6 x + 2$
$- 1 - 5 x = 3 - 6 x$

4.6 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 2° principio di equivalenza.

$2 x = 8$
$2 x = 3$
$6 x = 24$
$0 x = 1$
$\frac{1}{3} x = - 1$
$\frac{1}{2} x = \frac{1}{4}$

4.7 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 2° principio di equivalenza.

$\frac{3}{2} x = 12$
$2 x = - 2$
$3 x = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{2} x = 4$
$\frac{3}{4} x = \frac{12}{15}$
$2 x = \frac{1}{2}$

4.8 Risolvi le seguenti equazioni applicando il 2° principio di equivalenza.

$3 x = 6$
$\frac{1}{3} x = \frac{1}{3}$
$\frac{2}{5} x = \frac{10}{25}$
$- \frac{1}{2} x = - \frac{1}{2}$
$0, 1 x = 1$
$0, 1 x = 10$
$0, 1 x = 0, 5$
$- 0, 2 x = 5$

4.9 Risolvi le seguenti equazioni applicando entrambi i principi.

$2 x + 1 = 7$
$3 - 2 x = 3$
$6 x - 12 = 24$
$3 x + 3 = 4$
$5 - x = 1$
$7 x - 2 = 5$

4.10 Risolvi le seguenti equazioni applicando entrambi i principi.

$2 x + 8 = 8 - x$
$2 x - 3 = 3 - 2 x$
$6 x + 24 = 3 x + 12$
$2 + 8 x = 6 - 2 x$
$6 x - 6 = 5 - x$
$- 3 x + 12 = 3 x + 18$

4.11 Risolvi le seguenti equazioni applicando entrambi i principi.

$3 - 2 x = 8 + 2 x$
$\frac{2}{3} x - 3 = \frac{1}{3} x + 1$
$\frac{6}{5} x = \frac{24}{5} - x$
$3 x - 2 x + 1 = 2 + 3 x - 1$
$\frac{2}{5} x - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} x + \frac{1}{10}$
$\frac{5}{6} x + \frac{3}{2} = \frac{25}{3} - \frac{10}{2} x$

4.12 Risolvi l’equazione $10 x + 4 = - 2 \cdot (x + 5) - x$ seguendo la traccia:

svolgi i calcoli al primo e al secondo membro: ..........;
somma i monomi simili in ciascun membro dell’equazione: ..........;
applica il primo principio d’equivalenza per lasciare in un membro solo monomi con l’incognita e nell’altro membro solo numeri: ..........;
somma i termini del primo membro e somma i termini del secondo membro: ..........;
applica il secondo principio d’equivalenza dividendo ambo i membri per il coefficiente dell’incognita: ..........in forma canonica: ..........;
scrivi l’Insieme Soluzione: $I.S. = \dots \dots \dots$

4.13 Risolvi, seguendo la traccia, l’equazione $x - (3 x + 5) = (4 x + 8) - 4 \cdot (x + 1)$ :

svolgi i calcoli: ..........;
somma i monomi simili: ..........;
porta al primo membro i monomi con la $x$ e al secondo quelli senza: $...$
somma i monomi simili al primo membro e al secondo membro: $...$
dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita: $...$
l’insieme soluzione è: $...$

4.14 Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

$3 (x - 1) + 2 (x - 2) + 1 = 2 x$
$x - (2 x + 2) = 3 x - (x + 2) - 1$
$- 2 (x + 1) - 3 (x - 2) = 6 x + 2$
$x + 2 - 3 (x + 2) = x - 2$

4.15 Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

$2 (1 - x) - (x + 2) = 4 x - 3 (2 - x)$
$(x + 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$
$5 (3 x - 1) - 7 (2 x - 4) = 28$
$(x + 1) (x - 1) + 2 x = 5 + x (2 + x)$

4.16 Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

$2 x + (x + 2) (x - 2) + 5 = (x + 1)^{2}$
$4 (x - 2) + 3 (x + 2) = 2 (x - 1) - (x + 1)$
$(x + 2) (x + 3) - (x + 3)^{2} = (x + 1) (x - 1) - x (x + 1)$
$x^{3} + 6 x^{2} + (x + 2)^{3} + 11 x + (x + 2)^{2} = (x + 3) (2 x^{2} + 7 x)$

4.17 Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

$(x + 2)^{3} - (x - 1)^{3} = 9 (x + 1)^{2} - 9 x$
$(x + 1)^{2} + 2 x + 2 (x - 1) = (x + 2)^{2}$
$2 (x - 2) (x + 3) - 3 (x + 1) (x - 4) = - 9 (x - 2)^{2} + (8 x^{2} - 25 x + 36)$

4.18 Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

$(2 x - 3)^{2} - 4 x (2 - 5 x) - 4 = - 8 x (x + 4)$
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) - 3 x^{2} = (x - 1)^{3} + 1$
$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = (2 x - 1)^{3} - 12 x^{2}$

3 Equazioni a coefficienti frazionari

4.19 Risolvi l’equazione $\frac{3 \cdot (x - 11)}{4} = \frac{3 \cdot (x + 1)}{5} - \frac{1}{10}$

calcola $mcm (4, 5, 10) = \dots \dots$
moltiplica ambo i membri per ..........e ottieni: ..........;
..........

4.20 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme a fianco indicato.

$x + 7 = 8, ℕ$
$4 + x = 2, ℤ$
$x - 3 = 4, ℕ$
$x = 0, ℕ$
$x + 1 = 0, ℤ$
$5 x = 0, ℤ$

4.21 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme a fianco indicato.

$\frac{x}{4} = 0, ℚ$
$- x = 0, ℤ$
$7 + x = 0, ℤ$
$- 2 x = 0, ℤ$
$- x - 1 = 0, ℤ$
$\frac{- x}{4} = 0, ℚ$

4.22 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme a fianco indicato.

$x - \frac{2}{3} = 0, ℚ$
$\frac{x}{- 3} = 0, ℤ$
$2 (x - 1) = 0, ℤ$
$- 3 x = 1, ℚ$
$3 x = - 1, ℚ$
$\frac{x}{3} = 1, ℚ$

4.23 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme a fianco indicato.

$\frac{x}{3} = 2, ℚ$
$\frac{x}{3} = - 2, ℚ$
$0 x = 0, ℚ$
$0 x = 5, ℚ$
$0 x = - 5, ℚ$
$\frac{x}{1} = 0, ℚ$

4.24 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme a fianco indicato.

$\frac{x}{1} = 1, ℚ$
$- x = 10, ℤ$
$\frac{x}{- 1} = - 1, ℤ$
$3 x = 3, ℕ$
$- 5 x = 2, ℤ$
$3 x + 2 = 0, ℚ$

4.25 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$3 x = \frac{1}{3}$
$- 3 x = - \frac{1}{3}$
$x + 2 = 0$
$4 x - 4 = 0$
$4 x - 0 = 1$
$2 x + 3 = x + 3$

4.26 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$4 x - 4 = 1$
$4 x - 1 = 1$
$4 x - 1 = 0$
$3 x = 12 - x$
$4 x - 8 = 3 x$
$- x - 2 = - 2 x - 3$

4.27 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$- 3 (x - 2) = 3$
$x + 2 = 2 x + 3$
$- x + 2 = 2 x + 3$
$3 (x - 2) = 0$
$3 (x - 2) = 1$
$3 (x - 2) = 3$

4.28 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$0 (x - 2) = 1$
$0 (x - 2) = 0$
$12 + x = - 9 x$
$40 x + 3 = 30 x - 100$
$4 x + 8 x = 12 x - 8$
$- 2 - 3 x = - 2 x - 4$

4.29 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$2 x + 2 = 2 x + 3$
$\frac{x + 2}{2} = \frac{x + 1}{2}$
$\frac{2 x + 1}{2} = x + 1$
$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 3 x - \frac{1}{2}$
$π x = 0$
$2 π x = π$

4.30 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$0, 12 x = 0, 1$
$- \frac{1}{2} x - 0, 3 = - \frac{2}{5} x - 0, 15$
$892 x - 892 = 892 x - 892$
$892 x - 892 = 893 x - 892$
$348 x - 347 = 340 x - 347$
$340 x + 740 = 8942 + 340 x$

4.31 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$2 x + 3 = 2 x + 4$
$2 x + 3 = 2 x + 3$
$2 (x + 3) = 2 x + 5$
$2 (x + 4) = 2 x + 8$
$3 x + 6 = 6 x + 6$
$- 2 x + 3 = - 2 x + 4$

4.32 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 3 \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{x}{200} + \frac{1}{100} = \frac{1}{200}$
$1000 x - 100 = 2000 x - 200$
$100 x - 1000 = - 1000 x + 100$

4.33 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$x - 5 (1 - x) = 5 + 5 x$
$2 (x - 5) - (1 - x) = 3 x$
$3 (2 + x) = 5 (1 + x) - 3 (2 - x)$
$4 (x - 2) - 3 (x + 2) = 2 (x - 1)$
$\frac{x + 1000}{3} + \frac{x + 1000}{4} = 1$
$\frac{x - 4}{5}; =; \frac{2 x + 1}{3}$

4.34 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$\frac{x + 1}{2} + \frac{x - 1}{5} = \frac{1}{10}$
$\frac{x}{3} - \frac{1}{2}; =; \frac{x}{4} - \frac{x}{6}$
$8 x - \frac{x}{6} = 2 x + 11$
$3 (x - 1) - \frac{1}{7} = 4 (x - 2) + 1$
$537 x + 537 \frac{x}{4} - \frac{537 x}{7} = 0$
$\frac{2 x + 3}{5} = x - 1$

4.35 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$\frac{x}{2} - \frac{x}{6} - 1 = \frac{x}{3}$
$\frac{4 - x}{5} + \frac{3 - 4 x}{2} = 3$
$\frac{x + 3}{2} = 3 x - 2$
$\frac{x + 0, 25}{5} = 1, 75 - 0, \overline{3} x$
$3 (x - 2) - 4 (5 - x) = 3 x (1 - \frac{1}{3})$
$4 (2 x - 1) + 5 = 1 - 2 (- 3 x - 6)$

4.36 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$\frac{3}{2} (x + 1) - \frac{1}{3} (1 - x) = x + 2$
$\frac{1}{2} (x + 5) - x = \frac{1}{2} (3 - x)$
$(x + 3)^{2}; =; (x - 2) (x + 2) + \frac{1}{3} x$
$\frac{(x + 1)^{2}}{4} - \frac{2 + 3 x}{2}; =; \frac{(x - 1)^{2}}{4}$
$2 (x - \frac{1}{3}) + x; =; 3 x - 2$
$\frac{3}{2} x + \frac{x}{4}; =; 5 (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) - x$

4.37 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$(2 x - 3) (5 + x) + \frac{1}{4} = 2 (x - 1)^{2} - \frac{1}{2}$
$(x - 2) (x + 5) + \frac{1}{4} = x^{2} - \frac{1}{2}$
$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2}) = x^{2} + \frac{1}{2}$
$(x + 1)^{2} = (x - 1)^{2}$
$\frac{(1 - x)^{2}}{2} - \frac{x^{2} - 1}{2} = 1$
$\frac{(x + 1)^{2}}{3} = \frac{1}{3} (x^{2} - 1)$

4.38 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$4 (x + 1) - 3 x (1 - x) = (x + 1) (x - 1) + 4 + 2 x^{2}$
$\frac{1 - x}{3} \cdot (x + 1) = 1 - x^{2} + \frac{2}{3} (x^{2} - 1)$
$(x + 1)^{2} = x^{2} - 1$
$(x + 1)^{3} = (x + 2)^{3} - 3 x (x + 3)$
$\frac{1}{3} x (\frac{1}{3} x - 1) + \frac{5}{3} x (1 + \frac{1}{3} x) = \frac{2}{3} x (x + 3)$
$\frac{1}{2} (3 x + \frac{1}{3}) - (1 - x) + 2 (\frac{1}{3} x - 1) = - \frac{3}{2} x + 1$

4.39 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$3 + 2 x - \frac{1}{2} (\frac{x}{2} + 1) - \frac{3}{4} x = \frac{3}{4} x + \frac{x + 3}{2}$
$\frac{1}{2} [\frac{x + 2}{2} - (x + \frac{1}{2}) + \frac{x + 1}{2}] + \frac{1}{4} x = \frac{x - 2}{4} - (x + \frac{2 - x}{3})$
$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(x + \frac{1}{2})}^{2} = (x + 1) (3 x - 1) - 5 x - \frac{1}{2}$
$\frac{2 (x - 1)}{3} + \frac{x + 1}{5} - \frac{3}{5} = \frac{x - 1}{5} + \frac{7}{15} x$
$\frac{1}{2} (x - 2) - (\frac{x + 1}{2} - \frac{1 + x}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{2 - x}{6} + \frac{1 + x}{3}$
$- (\frac{1}{2} x + 3) - \frac{1}{2} (x + \frac{5}{2}) + \frac{3}{4} (4 x + 1) = \frac{1}{2} (x - 1)$

4.40 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{9} - \frac{3 x - 3}{6} = \frac{(x - 1)^{2}}{9} - \frac{2 - 2 x}{6}$
${(x - \frac{1}{2})}^{3} - {(x + \frac{1}{2})}^{2} - x (x + 1) (x - 1) = \frac{- 5}{2} x (x + 1)$
$\frac{1}{2} (3 x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (1 + x) (- 1 + x) + 3 {(\frac{1}{3} x - 1)}^{2} = \frac{2}{3} x$
$(x - 2) (x - 3) - 6 = (x + 2)^{2} + 5$
$(x - 3) (x - 4) - \frac{1}{3} (1 - 3 x) (2 - x) = \frac{1}{3} x - 5 (\frac{2 x - 9}{6})$
$\frac{2 w - 1}{3} + \frac{w - 5}{4} = \frac{w + 1}{3} - 4$

4.41 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$(2 x - 5)^{2} + 2 (x - 3) = (4 x - 2) (x + 3) - 28 x + 25$
$\frac{(x - 3) (x + 3) + (x - 2) (2 - x) - 3 (x - 2)}{\frac{1}{3} - 3} = \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x}{2}$
$2 {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{2} + 2 x = x + \frac{1}{2}$
${(0, \overline{1} x - 10)}^{2} + 0, 1 (x - 0, 2) + {(\frac{1}{3} x + 0, 3)}^{2} = \frac{10}{81} x^{2} + 0, 07$
$5 x + \frac{1}{6} - {(\frac{2 x + 1}{2})}^{2} + {(\frac{3 x - 1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} x + (2 x - 1) (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2} + \frac{1}{36}$
$\begin{matrix} {(1 + \frac{1}{2} x)}^{3} - 2 {(\frac{1}{2} x - 2)}^{2} + {(\frac{3 x - 1}{3})}^{2} - (1 - \frac{1}{3} x) x + \frac{1}{3} x = \frac{1}{3} (2 x + 1)^{2} \\ + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{5}{9} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{2} x + 1) (\frac{1}{2} x - 1) . \end{matrix}$

4.42 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$(\frac{1}{2} x + \frac{1}{3}) (\frac{1}{2} x - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) x = {(\frac{1}{2} x + 1)}^{2}$
$\frac{3}{20} + \frac{6 x + 8}{10} - \frac{2 x - 1}{12} + \frac{2 x - 3}{6} = \frac{x - 2}{4}$
$\frac{x^{3} - 1}{18} + \frac{(x + 2)^{3}}{9} = \frac{(x + 1)^{3}}{4} - \frac{x^{3} + x^{2} - 4}{12}$
$\frac{2}{3} x + \frac{5 x - 1}{3} + \frac{(x - 3)^{2}}{6} + \frac{1}{3} (x + 2) (x - 2) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$
$\frac{5}{12} x - 12 + \frac{x - 6}{2} - \frac{x - 24}{3} = \frac{x + 4}{4} - (\frac{5}{6} x - 6)$
$(1 - \frac{x + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}) (1 + \frac{\frac{1}{2} x + 1}{\frac{1}{2} - 1}) + (\frac{\frac{1}{2} x + 1}{\frac{1}{2} + 1} - 1) \cdot \frac{\frac{1}{2} + x}{\frac{1}{2} - 1} - \frac{x (\frac{1}{2} x + 1)}{\frac{1}{2} + 1} = x^{2}$

4.43 Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme $ℚ$

$x + \frac{1}{2} = \frac{x + 3}{3} - 1$
$\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} x + \frac{1}{2} x$
$\frac{3}{2} = 2 x - [\frac{x - 1}{3} - (\frac{2x + 1}{2} - 5x) - \frac{2 - x}{3}]$
$\frac{x + 5}{3} + 3 + \frac{2 \cdot (x - 1)}{3} = x + 4$
$\frac{1}{5} x - 1 + \frac{2}{3} x - 2 = \frac{10}{15} + \frac{3}{5} x$
$\frac{1}{2} (x - 2)^{2} - \frac{8 x^{2} - 25 x + 36}{18} + \frac{1}{9} (x - 2) (x + 3) = \frac{1}{6} (x + 1) (x - 4)$

4.44 Per una sola delle seguenti equazioni, definite in $ℤ$ , l’insieme soluzione è vuoto. Per quale? $A x = x + 1 B x + 1 = 0 C x - 1 = + 1 D x + 1 = 1$

4.45 Una sola delle seguenti equazioni è di primo grado nella sola incognita $x$ Quale? $A x + y = 5 B x^{2} + 1 = 45 C x - \frac{7}{89} = + 1 D x + x^{2} = 1$

4.46 Tra le seguenti una sola equazione non è equivalente alle altre. Quale? $A \frac{1}{2} x - 1 = 3 x B 6 x = x - 2 C x - 2 x = 3 x D 3 x = \frac{1}{2} (x - 2)$

4.47 Da $8 x = 2$ si ottiene: $A x = - 6 B x = 4 C x = \frac{1}{4} D x = - \frac{1}{4}$

4.48 Da $- 9 x = 0$ si ottiene: $A x = 9 B x = - \frac{1}{9} C x = 0 D x = \frac{1}{9}$

4.49 L’insieme soluzione dell’equazione $2 \cdot (x + 1) = 5 \cdot (x - 1) - 11$ è: $A I.S. = {- 6} B I.S. = {6} C I.S. = \{\frac{11}{3}\} D I.S. = \{\frac{1}{6}\}$

4.50 Per ogni equazione, individua quali tra gli elementi dell’insieme indicato a fianco sono soluzioni:

$\frac{x + 5}{2} + \frac{1}{5} = 0$ , $Q = \{1, - 5, 7, - \frac{27}{5}\}$
$x - \frac{3}{4} x = 4$ , $Q = {1, - 1, 0, 16}$
$x (x + 1) + 4 = 5 - 2 x + x^{2}$ , $Q = \{- 9, 3, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}\}$

4 Esercizi

4.1 Esercizi dei singoli paragrafi

4.2 Risposte