4 Piano cartesiano

Abbiamo visto qualche problema sull’asse cartesiano, ma in realtà un solo asse non è molto interessante. Se invece prendiamo due assi cartesiani non paralleli la situazione diventa più complessa, interessante e divertente.

Due assi non paralleli permettono di realizzare una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri: ad ogni punto corrisponde una ben precisa coppia di numeri e ad ogni coppia di numeri un ben preciso punto. La coppia ordinata di numeri prende il nome di coordinate del punto.

Figura 1.1: Riferimento cartesiano.

Figura 1.2: Rif. cart. ortogonale monometrico.

Figura: TODO

In entrambi questi riferimenti cartesiani al punto P corrisponde la coppia di numeri (2; 3). Pur essendo validi entrambi, per noi sarà molto più comodo usare il secondo riferimento cartesiano. Cioè un riferimento in cui gli assi:

hanno l’origine in comune;
sono perpendicolari;
hanno la stessa unità di misura.

Un asse, di solito quello orizzontale, si chiama asse delle ascisse o asse x; l’altro asse di solito quello verticale, si chiama asse delle ordinate o asse y. La prima delle due coordinate si riferisce alla coordinata dell’asse $x$ , la seconda alla coordinata dell’asse $y$ : $(x; y)$ .

Un riferimento di questo tipo si chiama: Riferimento Cartesiano Ortogonale Monometrico, (rcom). E noi d’ora in poi, quando parleremo di piano cartesiano o di riferimento cartesiano, ci riferiremo sempre ad un rcom.

Riassumendo possiamo dare la seguente definizione:

Definizione 1.2 Si chiama riferimento cartesiano ortogonale monometrico la coppia di assi cartesiani perpendicolari, con l’origine in comune e dotati di uguale unità di misura.

Gli assi dividono il piano in quattro zone chiamate quadranti che sono numerati come in figura 1.3.

Tutti i punti che appartengono all’asse $x$ hanno l’ordinata (la $y$ ) uguale a zero. Tutti i punti che appartengono all’asse $y$ hanno l’ascissa (la $x$ ) uguale a zero. L’intersezione degli assi, l’origine, ha coordinate $(0; 0)$

Figura 1.3: I quattro quadranti.

Figura 1.4: Collocazione delle coordinate positive e negative.

Figura: TODO

Per rappresentare un punto $P$ date le sue coordinate $(x_{p}; y_{p})$ si procede nel seguente modo:

determiniamo sull’asse $x$ il punto $A$ immagine del numero reale $x_{P}$
da $A$ tracciamo la retta parallela all’asse $y$
determiniamo sull’asse $y$ il punto $B$ immagine del numero reale $y_{P}$
da $B$ tracciamo la retta parallela all’asse $x$ .

L’intersezione delle parallele tracciate, è il punto $P$ che ha per coordinate la coppia ordinata $(x_{P}; y_{P})$ .

Il procedimento inverso permette di passare da un punto del piano alle sue coordinate,

Esempio 1.3

Determiniamo l’immagine delle coppie ordinate $(2; 3)$ , $(- 1; 4)$ , $(- 3; - 2)$ , e $(4; - 3)$ .

Nella figura 1.5 sono riportati i punti: $A$ che è l’immagine della coppia $(2; 3)$ , $B$ immagine della coppia $(- 1; 4)$ , $C$ immagine della coppia $(3; - 2)$ e $D$ della coppia $(4; - 3)$ .

Esempio 1.4

Determiniamo l’immagine delle seguenti coppie: $R (0; 4)$ , $S (0; - 2)$ , $H (- 4; 0)$ , $K (3; 0)$ .

Osserviamo (figura 1.6) che il punto immagine dello zero sull’asse $x$ coincide con $O$ , quindi la coppia $(0; 4)$ sarà associata al punto $R$ dell’asse $y$ e la coppia $(0; - 2)$ al punto $S$ dello stesso asse. Analogamente le coppie $(- 4; 0)$ e $(3; 0)$ sono associate rispettivamente ai punti $H$ e $K$ dell’asse $x$ .

Figura 1.5: Punti interni ai quadranti.

Figura 1.6: Punti sugli assi.

Figura: TODO