12 Proporzioni

Definizione 3.15 Il rapporto tra due numeri, di cui il secondo è diverso da zero, è il quoziente che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. Il primo numero si dice antecedente, il secondo conseguente.

Definizione 3.16 Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti, del tipo

A : B = C : D,

che si legge $A$ sta a $B$ come $C$ sta a $D$ , con

B

D

diversi da zero.

Esempio 3.32

$4 : 2 = 12 : 6$ .

Formano una proporzione perché i due quozienti valgono entrambi 2.

Esempio 3.33

$7 : 14 = 16 : 4$ .

Non formano una proporzione perché il primo rapporto vale 0,5 mentre il secondo rapporto vale 4.

Si dice anche che quattro numeri sono in proporzione se il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto.

Proprietà 3.2 (Fondamentale delle proporzioni) In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

A : B = C : D \Rightarrow A \cdot D = B \cdot C .

Esempio 3.34

$4 : 6 = 6 : 9$ .

Il prodotto dei medi è $6 \cdot 6 = 36$ e il prodotto degli estremi è $4 \cdot 9 = 36$ . Quindi è una proporzione.

Esempio 3.35

$20 : 30 = 30 : 40$ .

Il prodotto dei medi è $30 \cdot 30 = 900$ il prodotto degli estremi è $20 \cdot 40 = 800$ . Quindi non è una proporzione.

12.1 Calcolo di un medio o un estremo incognito

Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo il risultato per l’altro medio:

a : b = x : d \Rightarrow x = \frac{a \cdot d}{b} .

L’estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e dividendo il risultato per l’altro estremo:

x : b = c : d \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{d} .

Esempio 3.36 Calcola il termine incognito di ciascuna proporzione.

$5 : 7 = 20 : x \Rightarrow x = \frac{7 \cdot 20}{5} = 28$
$2 : x = 3 : 16 \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 16}{3} = \frac{32}{3}$
$\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = x : \frac{5}{6} \Rightarrow x = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{9}$ .

Definizione 3.17 Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.

Una proporzione continua è del tipo $A : B = B : C$ , per esempio

3 : 9 = 9 : 27, 5 : 10 = 10 : 20, 4 : 16 = 16 : 64 .

Calcolo del medio in una proporzione continua

In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene moltiplicando gli estremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto.

a : x = x : d \Rightarrow x = \sqrt{a \cdot d} .

Esempio 3.37

Trovare il valore di x nella seguente proporzione continua $36 : x = x : 9$ .

Svolgimento $x = \sqrt{36 \cdot 9} = 18$ .

12.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Si consideri il perimetro di un triangolo equilatero; sappiamo che esso varia al variare della lunghezza del suo lato. Se si indica con $l$ la lunghezza del lato del triangolo, allora il perimetro è dato dalla relazione:

2 p = 3 l .

È possibile notare che se raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se si triplica il lato, allora triplica anche il perimetro etc.

Lato $l$	0,5	1	1,5	2,4	3,1	4,4
Perimetro	1,5	3	4,5	7,2	9,3	13,2
Rapporto $\frac{2 p}{l}$	3	3	3	3	3	3

Definizione 3.18 Due grandezze

x

y

si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, cioè

\frac{y}{x} = k, con k \neq 0 .

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:

y = k x, con k \neq 0 .

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che passa per l’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali (figura 3.2).

Figura 3.2: Proporzionalità diretta.

Figura 3.3: Proporzionalità inversa.

Figura: TODO

Esaminiamo ora un altro esempio. Se quando vai a fare benzina allo scooter chiedi ogni volta € 10 di benzina, noterai che se aumenta il prezzo della benzina diminuirà la quantità di carburante che ricevi e viceversa se diminuisce il prezzo aumenterà la quantità di carburante che ricevi. Ciò che rimane costante è il prodotto tra il prezzo della benzina e la quantità di benzina ricevuta che deve essere sempre € 10.

Prezzo benzina al litro $p$ (€ )	1,126	1,156	1,212	1,248
Benzina ricevuta $b$ (l)	8,881	8,650	8,251	8,013
Costo $c = p \cdot b$ (€ )	10,00	10,00	10,00	10,00

Definizione 3.19 Due grandezze

x

y

si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante, cioè se:

x \cdot y = k, con k \neq 0 .

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo:

y = \frac{k}{x}, con k \neq 0 .

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da un ramo d’iperbole equilatera in un sistema di assi cartesiani ortogonali (figura 3.3).