7 Espressioni numeriche

Spesso in matematica abbiamo a che fare con più operazioni combinate assieme. In questo caso parliamo di espressioni:

Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue. Per esempio <<Luca ha detto Mario è stato promosso>> può avere due significati diversi a seconda di come si inserisce la punteggiatura: scrivendo <<Luca, ha detto Mario, è stato promosso>> significa che è stato promosso Luca; scrivendo <<Luca ha detto: Mario è stato promosso>> significa che è stato promosso Mario.

Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire, dobbiamo chiarire l’ordine con cui si devono eseguire le operazioni. Per esempio, l’espressione $7+5\cdot 2$ può valere 24 oppure 14, infatti: eseguendo le operazioni da sinistra a destra (associatività a sinistra) otteniamo 24 (vedi figura 1.3), mentre eseguendo prima la moltiplicazione (precedenza algebrica) otteniamo 17 (vedi figura 1.4).

Figura 1.3: Da sinistra a destra.

Descrizione immagine: TODO

Figura 1.4: Precedenza alle moltiplicazioni.

Descrizione immagine: TODO

Osservazione Alcune calcolatrici, quelle “aritmetiche” svolgono le operazioni man mano che sono inserite, si dice che applicano l’associatività a sinistra. Altre, le calcolatrici “scientifiche” seguono le regole dell’algebra. Esegui la seguente sequenza di operazioni sulla tua calcolatrice (le barre verticali separano i diversi tasti da premere):

 |7|+|5|×|2|=|

Osserva il risultato e confrontalo poi con quello ottenuto dai tuoi compagni. Diverse calcolatrici possono fornire risultati diversi. Per eliminare queste ambiguità sono state fissate le tre regole della precedenza algebrica:

1. prima si svolgono le espressioni nelle parentesi più interne;

2. in una espressione senza parentesi si svolgono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni;

3. le operazioni con la stessa precedenza si svolgono da sinistra verso destra.

Risolviamo le espressioni con i numeri naturali usando grafi ad albero; gli operandi sono le foglie dell’albero, il risultato è la radice. Costruiamo il grafo tenendo conto delle seguenti indicazioni:

• in ogni nodo viene riportata l’operazione eseguita e il risultato;

• costruiamo l’albero disegnando ogni nodo esattamente sotto l’operazione corrispondente;

• disegniamo le parentesi attorno al nodo che contiene il risultato di tutta un’espressione racchiusa tra parentesi.

Esempio 1.6 

$49-[2^4\times (14:7)+10]=$

Esempio 1.7 

$8^9\times 8^5:(8^3{)}^4:[4^{1}2:\left(4^2{)}^5\right]+27^2:9^2=$

Se per risolvere un’espressione dobbiamo utilizzare le proprietà delle potenze, al posto del simbolo di operazione scriveremo le sigle “p1”, “p2”, …per indicare l’uso della prima, seconda, …proprietà.