5 Insieme complementare

Sia $W = {sabato, domenica}$ l’insieme dei giorni della settimana che non finiscono per “dì”. L’insieme $W$ può essere considerato come sottoinsieme dell’insieme $G$ formato da tutti i giorni della settimana $G =$ {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}. L’insieme degli elementi di $G$ che non appartengono a $W$ forma un insieme che chiameremo

complementare di $W$ rispetto a $G$ . L’insieme $G$ invece si dice in questo caso insieme universo. Ad esempio nella rappresentazione caratteristica $A = {x \in N / x \leq 100}$ , $N$ è l’insieme universo di $A$ .

Definizione 3.6 Dato un insieme

A

, uno dei possibili insiemi che contengono

A

come sottoinsieme si dice insieme universo o insieme ambiente.

Definizione 3.7 Dato l’insieme

A

e scelto

U

come suo insieme universo, l’insieme degli elementi di

U

che non appartengono ad

A

si dice insieme complementare di

A

rispetto a

U

. In simboli:

\overline{A}

oppure

{\overline{A}}_{U}

oppure

∁_{U} A

Il diagramma di Eulero-Venn dell’insieme complementare è: Nella figura la parte in grigio è il complementare di

A

rispetto a

U

, cioè

{\overline{A}}_{U}

. Come si può vedere dal disegno, essendo

A \subseteq U

il complementare coincide con la differenza tra insiemi:

{\overline{A}}_{U} = U - A

Esempio 3.18 Insiemi complementari.

Il complementare dell’insieme $D$ dei numeri dispari rispetto all’insieme $ℕ$ dei numeri naturali è l’insieme $P$ dei numeri pari: ${\overline{D}}_{ℕ} = P$
Il complementare dell’insieme $V$ delle vocali dell’alfabeto italiano rispetto all’insieme $A$ delle lettere dell’alfabeto italiano è l’insieme $C$ delle consonanti: ${\overline{V}}_{U} = C$
Dati gli insiemi $U = {x \in N / 1 \leq x \leq 10}$ e $B = {x \in N / 1 \leq x \leq 5}$ , poiché $B \subset U$ si può determinare ${\overline{B}}_{U} = {x \in N / 6 \leq x \leq 10}$ .