4 Insieme intersezione

Esempio 3.12

Se $A$ è l’insieme delle lettere della parola “matematica” e $B$ è l’insieme delle lettere della parola “materia”. Quali elementi di $A$ stanno in $B$ ? Quali elementi di $B$ stanno in $A$ ? Quali sono gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi?

L’insieme degli elementi di $A$ che stanno in $B$ è {m, a, t, e, i};
l’insieme degli elementi di $B$ che stanno in $A$ è {m, a, t, e, i};
l’insieme degli elementi che stanno sia in $A$ sia in $B$ è {m, a, t, e, i}.

Definizione 3.4 Dati due insiemi

A

B

, si dice insieme intersezione di

A

B

, l’insieme

C

composto da tutti gli elementi appartenenti contemporaneamente ad

A

e a

B

, ossia comuni a entrambi. In simboli:

C = A \cap B

, che si legge “

A

intersecato a

B

” o “

A

intersezione

B

”.

Mediante proprietà caratteristica si scrive: $C = A \cap B = {x / (x \in A) e (x \in B)}$ .

Se $A \cap B = \emptyset$ , ossia se $A$ e $B$ non hanno elementi in comune, i due insiemi si dicono disgiunti.

4.1 Proprietà dell’intersezione tra insiemi

$A \cap B = B \cap A$ : proprietà commutativa dell’intersezione;
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ : proprietà associativa dell’intersezione;
Se $B \subset A$ , allora $A \cap B = B$
$A \cap \emptyset = \emptyset$
$A \cap A = A$ : proprietà di idempotenza dell’intersezione;
$\emptyset \cap \emptyset = \emptyset$ .

4.2 Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione e viceversa

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ : proprietà distributiva dell’intersezione rispetto l’unione;
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ : proprietà distributiva dell’unione rispetto l’intersezione.

Esempio 3.13 Siano

X = {do, re, mi. fa, sol, la, si}

Y = {do, re, mi}

. Allora poiché,

Y \subset X

, si ha:

W = X \cap Y = Y = {do, re, mi}

Esempio 3.14 Siano

D = {1, 3, 5}

P = {2, 4, 6}

allora

N = P \cap D = \emptyset

4.3 Insieme differenza

Consideriamo gli insiemi $A$ e $B$ formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italiano e dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè: $A =$ {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z} e $B =$ {b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z}, le lettere “a, e, i, o, u” che compaiono nell’insieme $A$ ma non in $B$ formano un nuovo insieme chiamato insieme differenza.

Definizione 3.5 Dati due insiemi

A

B

, si dice insieme differenza l’insieme

C

, composto da tutti gli elementi di

A

che non appartengono a

B

. In simboli:

C = A - B

che si legge “

A

differenza

B

”.

Mediante proprietà caratteristica si scrive: $C = A - B = {x / (x \in A) e (x \notin B)}$ .

4.4 Proprietà della differenza tra insiemi

Se $A \cap B = \emptyset$ , ossia sono disgiunti allora $A - B = A$ , e $B - A = B$
se $B \subset A$ , ossia $B$ è sottoinsieme proprio di $A$ allora $B - A = \emptyset$
$A - A = \emptyset$
$A - \emptyset = A$ .

Esempio 3.15 Siano

A = {8, 9, 10, 12, 13}

B = {9, 10, 11, 13}

allora

C = A - B = {8, 12}

D = B - A = {11}

Poiché $A - B \neq B - A$ nella differenza non vale la proprietà commutativa.

Esempio 3.16 Siano

D = {1, 3, 5}

P = {0, 2, 4}

. I due insiemi sono disgiunti

P \cap D = \emptyset

allora

D - P = {1, 3, 5} = D

P - D = {0, 2, 4} = P

Esempio 3.17 Siano

X = {do, re, mi, fa, sol, la, si}

Y = {do, re, mi}

allora poiché

Y \subset X

W = X - Y = {fa, sol, la, si}