3 Insieme unione

Prendiamo l’insieme $ℙ$ dei numeri pari e l’insieme $𝔻$ dei numeri dispari; allora l’insieme $ℕ$ dei numeri naturali è dato dall’unione dei due insiemi $ℙ$ e $𝔻$ .

Definizione 3.3 Dati due insiemi

A

B

, si dice insieme unione l’insieme

C

, composto da tutti gli elementi appartenenti ad

A

o a

B

o a entrambi. In simboli:

C = A \cup B

, si legge “

A

unito a

B

” o “

A

unione

B

”.

Mediante la proprietà caratteristica si scrive: $C = A \cup B = {x / (x \in A) o (x \in B)}$ .

3.1 Proprietà dell’unione tra insiemi

$A \cup B = B \cup A$ : proprietà commutativa dell’unione;
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ : proprietà associativa dell’unione;
se $B \subset A$ , allora $A \cup B = A$
$A \cup \emptyset = A$
$A \cup A = A$ : proprietà di idempotenza dell’unione.

Esempio 3.10

Siano $D = {1, 3, 5}$ e $P = {2, 4, 6}$ allora $N = P \cup D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ .

Esempio 3.11

Siano $X = {do, re, mi, fa, sol, la, si}$ e $Y = {do, re, mi}$ , allora, poiché $Y \subset X$ , $W = X \cup Y = X = {do, re, mi, fa, sol, la, si}$ .