Consideriamo l’insieme degli abitanti di Milano e l’insieme degli abitanti di Milano con età superiore ai 40 anni. Gli abitanti ultra quarantenni di Milano fanno parte della popolazione di Milano, cioè tutti gli elementi dell’insieme sono anche elementi di : si dice che è sottoinsieme di , si scrive .
Nel caso in cui tutti gli elementi di siano elementi di e tutti gli elementi di siano elementi di si ha che , e si dice sottoinsieme improprio di . Se e , allora .
Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto , cioè qualunque sia l’insieme risulta che . L’insieme vuoto è considerato un sottoinsieme improprio di qualunque insieme. Ogni insieme è sottoinsieme improprio di se stesso.
Se è un sottoinsieme di e ha altri elementi oltre a quelli di si dice che è un sottoinsieme proprio di e si scrive . La scrittura si usa quando non si sa in modo certo se o .
Dati due insiemi e , si dice che è un sottoinsieme di se ogni elemento di è anche elemento di .
In simboli: , che si legge “ è incluso in ” o “ è sottoinsieme di ”.
La rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente:
Se è un elemento del sottoinsieme , allora lo sarà anche dell’insieme :
Dalla stessa definizione, si deduce che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, in simboli . Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto. Cioè, qualunque sia l’insieme risulta .
Sia l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano e l’insieme delle vocali, allora si può scrivere cioè è un sottoinsieme proprio di , come si può anche vedere dalla rappresentazione grafica.