6 Esercizi

6.1 Esercizi dei singoli paragrafi

3 Problemi sulla retta

1.1  Dopo aver riportato in un riferimento cartesiano i seguenti punti, calcola il il punto medio e la lunghezza dei seguenti AB:

1. $A=(9;);B=(-12;)$ [$M_{AB}=-1.5;\overline{AB}=-21$]
2. $A=(-6;);B=(-11;)$ [$M_{AB}=-8.5;\overline{AB}=-5$]
3. $A=(-8;);B=(-10;)$ [$M_{AB}=-9.0;\overline{AB}=-2$]
4. $A=(-9;);B=(-12;)$ [$M_{AB}=-10.5;\overline{AB}=-3$]
5. $A=(1;);B=(-11;)$ [$M_{AB}=-5.0;\overline{AB}=-12$]
6. $A=(-2;);B=(7;)$ [$M_{AB}=2.5;\overline{AB}=9$]
7. $A=(-3;);B=(3;)$ [$M_{AB}=0.0;\overline{AB}=6$]
8. $A=(-4;);B=(9;)$ [$M_{AB}=2.5;\overline{AB}=13$]
9. $A=(-5;);B=(-12;)$ [$M_{AB}=-8.5;\overline{AB}=-7$]
10. $A=(3;);B=(6;)$ [$M_{AB}=4.5;\overline{AB}=3$]
11. $A=(11;);B=(8;)$ [$M_{AB}=9.5;\overline{AB}=-3$]
12. $A=(-3;);B=(1;)$ [$M_{AB}=-1.0;\overline{AB}=4$]
13. $A=(-8;);B=(11;)$ [$M_{AB}=1.5;\overline{AB}=19$]
14. $A=(8;);B=(-2;)$ [$M_{AB}=3.0;\overline{AB}=-10$]
15. $A=(-7;);B=(4;)$ [$M_{AB}=-1.5;\overline{AB}=11$]

5 Problemi nel piano cartesiano

1.2  Dopo aver riportato in un riferimento cartesiano i seguenti punti, per ogni segmento AB calcola: punto medio, lunghezza e area sottesa.

1. $A=(-5;1);B=(-2;-4)$ [$M_{AB}=(-3.5,-1.5);\overline{AB}=\sqrt{34}=5.83;A_{A}B=-4.5$]
2. $A=(-3;0);B=(-1;-4)$ [$M_{AB}=(-2.0,-2.0);\overline{AB}=\sqrt{20}=4.47;A_{A}B=-4.0$]
3. $A=(-3;0);B=(0;-5)$ [$M_{AB}=(-1.5,-2.5);\overline{AB}=\sqrt{34}=5.83;A_{A}B=-7.5$]
4. $A=(-7;-2);B=(0;-6)$ [$M_{AB}=(-3.5,-4.0);\overline{AB}=\sqrt{65}=8.06;A_{A}B=-28.0$]
5. $A=(-4;-1);B=(1;-4)$ [$M_{AB}=(-1.5,-2.5);\overline{AB}=\sqrt{34}=5.83;A_{A}B=-12.5$]
6. $A=(-7;-3);B=(-6;-7)$ [$M_{AB}=(-6.5,-5.0);\overline{AB}=\sqrt{17}=4.12;A_{A}B=-5.0$]
7. $A=(-4;-3);B=(-1;-6)$ [$M_{AB}=(-2.5,-4.5);\overline{AB}=\sqrt{18}=4.24;A_{A}B=-13.5$]
8. $A=(-5;0);B=(-3;-3)$ [$M_{AB}=(-4.0,-1.5);\overline{AB}=\sqrt{13}=3.61;A_{A}B=-3.0$]
9. $A=(-7;-2);B=(-2;-5)$ [$M_{AB}=(-4.5,-3.5);\overline{AB}=\sqrt{34}=5.83;A_{A}B=-17.5$]
10. $A=(-2;-3);B=(2;-6)$ [$M_{AB}=(0.0,-4.5);\overline{AB}=\sqrt{25}=5.0;A_{A}B=-18.0$]
11. $A=(-4;0);B=(-3;-6)$ [$M_{AB}=(-3.5,-3.0);\overline{AB}=\sqrt{37}=6.08;A_{A}B=-3.0$]
12. $A=(-7;2);B=(-3;-1)$ [$M_{AB}=(-5.0,0.5);\overline{AB}=\sqrt{25}=5.0;A_{A}B=2.0$]
13. $A=(-2;-2);B=(0;-6)$ [$M_{AB}=(-1.0,-4.0);\overline{AB}=\sqrt{20}=4.47;A_{A}B=-8.0$]
14. $A=(-5;0);B=(-1;-2)$ [$M_{AB}=(-3.0,-1.0);\overline{AB}=\sqrt{20}=4.47;A_{A}B=-4.0$]
15. $A=(-3;-2);B=(-1;-8)$ [$M_{AB}=(-2.0,-5.0);\overline{AB}=\sqrt{40}=6.32;A_{A}B=-10.0$]

1.3  Disegna i triangoli che hanno per vertici i seguenti punti poi calcolane perimetro e area.

1. $A=(-8;0);B=(0;-4);C=(2;3)$ [$2p=26.66A=32.0$]
2. $A=(-7;0);B=(-1;-2);C=(5;7)$ [$2p=31.03A=33.0$]
3. $A=(-3;-3);B=(-2;-6);C=(3;5)$ [$2p=25.25A=13.0$]
4. $A=(-4;0);B=(-2;-8);C=(6;1)$ [$2p=30.34A=41.0$]
5. $A=(-7;-3);B=(1;-6);C=(5;3)$ [$2p=31.81A=42.0$]
6. $A=(-6;2);B=(0;-8);C=(2;3)$ [$2p=30.90A=43.0$]
7. $A=(-5;-1);B=(-3;-3);C=(5;7)$ [$2p=28.44A=18.0$]
8. $A=(-6;0);B=(-5;-3);C=(-2;7)$ [$2p=21.66A=9.5$]
9. $A=(-2;-1);B=(2;-4);C=(5;3)$ [$2p=20.68A=18.5$]
10. $A=(-3;0);B=(-2;-6);C=(5;4)$ [$2p=27.23A=26.0$]
11. $A=(-4;0);B=(0;-4);C=(2;7)$ [$2p=26.06A=26.0$]
12. $A=(-6;2);B=(-2;-3);C=(4;4)$ [$2p=25.82A=29.0$]
13. $A=(-5;2);B=(2;0);C=(3;7)$ [$2p=23.79A=25.5$]
14. $A=(-7;0);B=(1;-7);C=(4;2)$ [$2p=31.30A=46.5$]
15. $A=(-7;2);B=(-1;-7);C=(5;6)$ [$2p=37.78A=66.0$]

6.2 Esercizi riepilogativi

1.4  Dopo aver riportato in un riferimento cartesiano i seguenti punti, calcola il il punto medio e la lunghezza dei seguenti AB:

1. $A=(4;);B=(-7;)$ [$M_{AB}=-1.5;\overline{AB}=-11$]
2. $A=(-12;);B=(-4;)$ [$M_{AB}=-8.0;\overline{AB}=8$]
3. $A=(-5;);B=(5;)$ [$M_{AB}=0.0;\overline{AB}=10$]
4. $A=(-11;);B=(2;)$ [$M_{AB}=-4.5;\overline{AB}=13$]
5. $A=(-10;);B=(-3;)$ [$M_{AB}=-6.5;\overline{AB}=7$]
6. $A=(9;);B=(-6;)$ [$M_{AB}=1.5;\overline{AB}=-15$]
7. $A=(-10;);B=(2;)$ [$M_{AB}=-4.0;\overline{AB}=12$]
8. $A=(3;);B=(8;)$ [$M_{AB}=5.5;\overline{AB}=5$]
9. $A=(-5;);B=(-10;)$ [$M_{AB}=-7.5;\overline{AB}=-5$]
10. $A=(2;);B=(0;)$ [$M_{AB}=1.0;\overline{AB}=-2$]
11. $A=(10;);B=(-12;)$ [$M_{AB}=-1.0;\overline{AB}=-22$]
12. $A=(-4;);B=(-11;)$ [$M_{AB}=-7.5;\overline{AB}=-7$]
13. $A=(8;);B=(9;)$ [$M_{AB}=8.5;\overline{AB}=1$]
14. $A=(-4;);B=(-9;)$ [$M_{AB}=-6.5;\overline{AB}=-5$]
15. $A=(2;);B=(-8;)$ [$M_{AB}=-3.0;\overline{AB}=-10$]

1.5  Dopo aver riportato in un riferimento cartesiano i seguenti punti, per ogni segmento AB calcola: punto medio, lunghezza e area sottesa.

1. $A=(-7;0);B=(-6;-5)$ [$M_{AB}=(-6.5,-2.5);\overline{AB}=\sqrt{26}=5.10;A_{A}B=-2.5$]
2. $A=(-5;2);B=(-4;0)$ [$M_{AB}=(-4.5,1.0);\overline{AB}=\sqrt{5}=2.24;A_{A}B=1.0$]
3. $A=(-4;0);B=(-3;-6)$ [$M_{AB}=(-3.5,-3.0);\overline{AB}=\sqrt{37}=6.08;A_{A}B=-3.0$]
4. $A=(-4;0);B=(0;-6)$ [$M_{AB}=(-2.0,-3.0);\overline{AB}=\sqrt{52}=7.21;A_{A}B=-12.0$]
5. $A=(-3;1);B=(2;-5)$ [$M_{AB}=(-0.5,-2.0);\overline{AB}=\sqrt{61}=7.81;A_{A}B=-10.0$]
6. $A=(-3;-3);B=(0;-5)$ [$M_{AB}=(-1.5,-4.0);\overline{AB}=\sqrt{13}=3.61;A_{A}B=-12.0$]
7. $A=(-4;-2);B=(-3;-4)$ [$M_{AB}=(-3.5,-3.0);\overline{AB}=\sqrt{5}=2.24;A_{A}B=-3.0$]
8. $A=(-8;0);B=(-6;-6)$ [$M_{AB}=(-7.0,-3.0);\overline{AB}=\sqrt{40}=6.32;A_{A}B=-6.0$]
9. $A=(-5;-2);B=(-2;-6)$ [$M_{AB}=(-3.5,-4.0);\overline{AB}=\sqrt{25}=5.0;A_{A}B=-12.0$]
10. $A=(-6;-2);B=(-4;-4)$ [$M_{AB}=(-5.0,-3.0);\overline{AB}=\sqrt{8}=2.83;A_{A}B=-6.0$]
11. $A=(-5;-1);B=(2;-7)$ [$M_{AB}=(-1.5,-4.0);\overline{AB}=\sqrt{85}=9.22;A_{A}B=-28.0$]
12. $A=(-5;0);B=(-4;-3)$ [$M_{AB}=(-4.5,-1.5);\overline{AB}=\sqrt{10}=3.16;A_{A}B=-1.5$]
13. $A=(-8;-1);B=(-3;-3)$ [$M_{AB}=(-5.5,-2.0);\overline{AB}=\sqrt{29}=5.39;A_{A}B=-10.0$]
14. $A=(-4;-1);B=(1;-3)$ [$M_{AB}=(-1.5,-2.0);\overline{AB}=\sqrt{29}=5.39;A_{A}B=-10.0$]
15. $A=(-2;-3);B=(2;-6)$ [$M_{AB}=(0.0,-4.5);\overline{AB}=\sqrt{25}=5.0;A_{A}B=-18.0$]

1.6  Disegna i triangoli che hanno per vertici i seguenti punti poi calcolane perimetro e area.

1. $A=(-8;-3);B=(1;-6);C=(3;-2)$ [$2p=25.00A=21.0$]
2. $A=(-6;-3);B=(-4;-5);C=(4;7)$ [$2p=31.39A=20.0$]
3. $A=(-4;2);B=(2;-5);C=(6;4)$ [$2p=29.27A=41.0$]
4. $A=(-5;-2);B=(-1;-5);C=(7;1)$ [$2p=27.37A=24.0$]
5. $A=(-8;-1);B=(1;-4);C=(4;1)$ [$2p=27.48A=27.0$]
6. $A=(-6;0);B=(-3;-4);C=(-2;5)$ [$2p=20.46A=15.5$]
7. $A=(-2;2);B=(1;-8);C=(4;5)$ [$2p=30.49A=34.5$]
8. $A=(-3;-2);B=(-2;-7);C=(-1;2)$ [$2p=18.63A=7.0$]
9. $A=(-8;-3);B=(-2;-6);C=(-1;-1)$ [$2p=19.09A=16.5$]
10. $A=(-7;0);B=(-2;-3);C=(2;5)$ [$2p=25.07A=26.0$]
11. $A=(-3;-2);B=(1;-5);C=(6;1)$ [$2p=22.30A=19.5$]
12. $A=(-5;-2);B=(2;-8);C=(6;-1)$ [$2p=28.33A=36.5$]
13. $A=(-4;2);B=(0;0);C=(3;6)$ [$2p=19.24A=15.0$]
14. $A=(-8;-1);B=(-2;-7);C=(6;0)$ [$2p=33.15A=45.0$]
15. $A=(-5;-2);B=(-4;-7);C=(6;4)$ [$2p=32.50A=30.5$]

1.7 

Per ciascuna coppia di punti indica in quale quadrante si trova, se si trova su un asse indica l’asse: $(0;-1)$,  $\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{4}\right)$,  $\left(0;\frac{1}{3}\right)$,  $\left(\frac{5}{3};1\right)$,   $\left(1;-\frac{5}{3}\right)$  $(-8;9)$,  $\left(-2;-\frac{1}{4}\right)$,  $(-1;0)$

Completa l’osservazione conclusiva:

• tutte le coppie del tipo $(+;+)$ individuano punti del $\dots \dots \dots$

• tutte le coppie del tipo $(\dots ;\dots )$ individuano punti del $IV$ quadrante;

• tutte le coppie del tipo $(-;+)$ individuano punti del $\dots \dots \dots$

• tutte le coppie del tipo $(-;-)$ individuano punti del $\dots \dots \dots$

• tutte le coppie del tipo $(\dots ;0)$ individuano punti del $\dots \dots \dots$

• tutte le coppie del tipo $(\dots ;\dots )$ individuano punti dell’asse $y$

1.8  Sono assegnati i punti $A(3;-1)$, $B(3;5)$, $M(-1;-1)$, $N(-1;-7)$ È vero che $\overline{AB}=\overline{MN}$?

1.9  Sono assegnati i punti $A(1;5)$, $B(-4;5)$, $C(-4;-2)$, $D(5;-2)$ Quale poligono si ottiene congiungendo nell’ordine i quattro punti assegnati? Determinare l’area del quadrilatero $ABCD$

1.10  Determina l’area del quadrilatero $MNPQ$ sapendo che $M(6;-4)$, $N(8;3)$, $P(6;5)$, $Q(4;3)$

1.11  Determina $\overline{AB}$ sapendo che $A(7;-1)$ e $B(-3;-6)$

1.12  Determina la distanza di $P\left(-3;2,5\right)$ dall’origine del riferimento.

1.13  Calcola la misura del perimetro del triangolo $ABC$ di vertici $A(3;-2)$, $B(4;1)$, $C(7;-4)$

1.14  Determina il perimetro del quadrilatero di vertici $A(1;5)$, $B(-4;5)$, $C(-4;-2)$, $D(5;-2)$

1.15  Determina il perimetro del quadrilatero di vertici $M(6;-4)$, $N(8;3)$, $P(6;5)$, $Q(4;3)$

1.16  Determina il perimetro e la misura delle diagonali del quadrilatero di vertici $A(1;-3)$, $B(4;3)$, $C(-3;1)$, $D(-6;-5)$

1.17  Verifica che il triangolo di vertici $E(4;3)$, $F(-1;4)$, $G(3;-2)$ è isoscele.

1.18  Il triangolo $ABC$ ha il lato $BC$ appoggiato sull’asse $x$ il vertice $B$ ha ascissa $\frac{5}{4}$, il vertice $C$ segue $B$ e $\overline{BC}=\frac{17}{2}$ Determina le coordinate del vertice $C$, l’area e il perimetro del triangolo sapendo che il terzo vertice è $A(-1;5)$

1.19  I punti $F(3;0)$, $O(0;0)$, $C(0;5)$ sono i vertici di un rettangolo; determina le coordinate del quarto vertice, il perimetro, l’area e la misura delle diagonali del rettangolo.

1.20  I punti $O(0;0)$, $A(4;5)$, $B(9;5)$, $C(3;0)$ sono i vertici di un trapezio. Determina perimetro e area del trapezio $OABC$

1.21  Determina le coordinate del punto medio dei segmenti i cui estremi sono le seguenti coppie di punti:

1.22  I vertici del triangolo $ABC$ sono i punti $A\left(\frac{2}{3};-\frac{3}{2}\right)$, $B\left(-\frac{1}{6};1\right)$, $C\left(\frac{4}{3};0\right)$, determina le coordinate dei punti $M$, $N$, $P$, punti medi rispettivamente dei lati $AB$, $AC$, $BC$

1.23  I vertici del triangolo $ABC$ sono i punti $A(-3;5)$, $B(3;-5)$, $C(3,5)$, i punti $M$, $N$, $P$ sono i punti medi rispettivamente dei lati $AB$, $AC$, $BC$ Determina il perimetro di $ABC$ e di $MNP$ Quale relazione sussiste tra i perimetri ottenuti? Secondo te vale la stessa relazione anche tra le aree dei due triangoli?

1.24  Verifica che il triangolo di vertici $A(2;3)$, $B(6;-1)$, $C(-4;-3)$ è rettangolo (è sufficiente verificare che le misure dei lati verificano la relazione di Pitagora). È vero che $CB$ è l’ipotenusa? Verifica che $AM$, con $M$ punto medio di $BC$ è metà di $BC$ stesso. Come sono i triangoli $AMC$ e $AMB$?

1.25  Verifica che i segmenti $AB$ e $CD$ di estremi $A\left(\frac{1}{2};2\right)$, $B\left(-\frac{3}{4};-2\right)$, $C(3;1)$, $D\left(-\frac{7}{2};-1\right)$ hanno lo stesso punto medio. È vero che $AC=BD$?

1.26  Verifica che il triangolo di vertici $A(3;2)$, $B(2;5)$, $C(-4;3)$ è rettangolo e calcola l’area. [10]

1.27  Verifica che il triangolo di vertici $A(-4;3)$, $B(-1;-2)$, $C(1;6)$ è isoscele e calcola l’area. [17]

1.28  Determinare la mediana relativa al lato $AB$ del triangolo di vertici $A(0;4)$, $B(-2;0)$, $C(2;-2)$ [5]

1.29  Calcola le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici $A(0;0)$, $B(4;3)$, $C(2;-3)$ [(2; 0)]

1.30  Calcola le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici $A(-3;4)$, $B(-1;-3)$, $C(1;5)$ [(-1; 2)]