11 Le percentuali

Avrai sentito parlare spesso che il prezzo di un oggetto è stato scontato del 10 per cento, oppure che un partito politico ha preso il 25 per cento di voti e altre espressioni simili che coinvolgono le percentuali.

Le percentuali sono un altro modo per scrivere le frazioni.

Definizione 3.14 Le percentuali sono frazioni che hanno come denominatore 100 e come numeratore un numero intero o decimale.

La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %.

35 % = \frac{35}{100}; 7 % = \frac{7}{100}; 12, 5 % = \frac{12, 5}{100} = \frac{125}{1000} .

Per passare dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere per 100 il numero che esprime la percentuale:

35 % = \frac{35}{100} = 0, 35; 7 % = \frac{7}{100} = 0, 07; 12, 5 % = \frac{12, 5}{100} = 0, 125 .

Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale basta moltiplicare numeratore e denominatore per 100:

0, 02 = \frac{0, 02}{1} = \frac{2}{100} = 2 %; 0, 23 = \frac{0, 23}{1} = \frac{23}{100} = 23 %; 1, 21 = \frac{1, 21}{1} = \frac{121}{100} = 121 % .

Per passare da una frazione alla percentuale conviene prima scrivere la frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale:

\frac{2}{3} = 0, \overline{6} = \frac{0, \overline{6}}{1} = \frac{66, \overline{6}}{100} = 66, \overline{6} % .

11.1 Problemi con le percentuali

Per calcolare la percentuale di una grandezza è sufficiente moltiplicare il valore della grandezza per la percentuale espressa in frazione.

Esempio 3.27

In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sono stati i promossi?

Per rispondere, si moltiplica il numero totale di alunni per la frazione $95 / 100$ . Precisamente $\frac{95}{100} \cdot 857 = 814, 15$ . Poiché il risultato non è un numero intero la percentuale è stata approssimata. Gli alunni promossi sono stati 814.

A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la parte nota rispetto al totale. In questo caso occorre dividere la parte nota per l’intera grandezza, moltiplicare il risultato per 100 ed esprimere il numero in percentuale.

Esempio 3.28

Di una scolaresca di 652 alunni ben 126 hanno avuto il debito in matematica. Qual è la percentuale di alunni che hanno avuto il debito in matematica?

Per rispondere alla domanda eseguiamo i seguenti calcoli:

\frac{126}{652} \cdot 100 % \approx 0, 19 \cdot 100 % = 19 % .

11.2 Problemi con gli sconti

Esempio 3.29

Un pantalone costava € 70 e viene venduto con il $20 %$ di sconto, a quanto viene venduto?

Si tratta di calcolare prima lo sconto e po il prezzo scontato. Lo sconto è dato da

20 % \cdot 70

€

= \frac{20}{100} \cdot 70

€

= 14

Il prezzo scontato è € $70 -$ € 14 $=$ € 56.

In alternativa si può tenere conto che, se $20 %$ esprime lo sconto, la parte rimanente, quella da pagare, è $100 % - 20 % = 80 %$ . Quindi per calcolare quanto costano i pantaloni scontati si può calcolare

80 % \cdot 70

€

= \frac{80}{100} \cdot 70

€

= 56

€.

Esempio 3.30

Un paio di scarpe da € 120 viene venduto scontato a € 75 Qual è stata la percentuale di sconto praticato?

Per rispondere alla domanda, calcolo lo sconto € 120 $-$ € 75 $=$ € 45.

Calcolo la percentuale che € 45 rappresentano di € 120,

\frac{45}{120} \cdot 100 % = 0, 375 \cdot 100 % = 37, 5 % .

Esempio 3.31

Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortuna era scontato del $15 %$ , ha risparmiato cosi 120 euro. Quanto costa il computer di listino?

€ 120 corrispondono al $15 %$ del prezzo di listino. Per calcolare il prezzo di listino occorre dividere 120 per la frazione che corrisponde a $15 %$ .

120 : 15 % = 120 : \frac{15}{100} = 120 \cdot \frac{100}{15} =

€ 800.