2 Frazioni

Definizione 3.1 Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali in cui il primo si chiama numeratore e il secondo denominatore. Il denominatore deve essere diverso da zero.

Quando si chiede, per esempio un quarto di litro di latte, $\frac{1}{4} l$ , si danno le informazioni su come operare sulla grandezza unitaria litro per ottenere la quantità desiderata. Le frazioni possono essere viste come operatori che si applicano a una grandezza fissata, considerata come l’intero o il tutto, per ottenere una nuova grandezza ben determinata e omogenea alla prima.

Una frazione con numeratore uguale a 1 è detta frazione unitaria; indicata con $A$ una grandezza (segmento, peso, superficie, angolo…) la scrittura $\frac{1}{n} A$ sta ad indicare l’operazione di divisione della grandezza $A$ , intesa come il ‘tutto’, in $n$ parti uguali.

Nella figura, il segmento unitario da 0 a 1 è stato diviso in due parti uguali ottenendo la frazione $\frac{1}{2}$ dividendolo in quattro parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{4}$ dividendolo in otto parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{8}$ dividendolo in sedici parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{16}$ .

Definizione 3.2 Il denominatore di una frazione è quel numero che indica in quante parti uguali si è diviso l’intero. Poiché non ha senso dividere un intero in zero parti, il denominatore deve essere diverso da zero.

Vediamo un altro esempio. Il quadrato $Q$ della figura è stato diviso in quattro parti uguali e una parte è stata colorata di grigio; questa parte viene indicata con la frazione unitaria $\frac{1}{4} Q$ .

Una frazione $\frac{1}{n} A$ significa l’ennesima parte di $A$ , dove $A$ è il tutto che si deve dividere in $n$ parti uguali. In altre parole, $A$ si può ottenere moltiplicando per $n$ la frazione $\frac{1}{n} A$ .

Partendo da $\frac{1}{n} A$ si possono considerare i suoi multipli interi:

\frac{2}{n} A, \frac{3}{n} A, \dots, \frac{n}{n} A

che rappresentano il doppio di un ennesimo, il triplo di un ennesimo, l’intera grandezza $A$ .

Riferendoci all’esempio del quadrato:

La frazione $\frac{m}{n} A$ (si legge emme ennesimi di $A$ ) con $m < n$ indica il multiplo secondo $m$ della frazione unitaria $\frac{1}{n} A$ essa indica la grandezza che si ottiene dividendo $A$ in $n$ parti uguali e prendendone $m$ .

Definizione 3.3 Il numeratore di una frazione è quel numero che esprime quante parti, dell’intero suddiviso in parti secondo il denominatore, sono state prese.

Per leggere una frazione si legge prima il numeratore e poi il denominatore. Quest’ultimo si legge come numero ordinale (terzo, quarto, quinto,…) fino a 10 e se è maggiore di dieci si aggiunge la terminazione -esimo.

Esempio 3.1 Lettura di frazioni.

$\frac{1}{2}$ si legge un mezzo;
$\frac{1}{10}$ si legge un decimo;
$\frac{2}{3}$ , si legge due terzi;
$\frac{1}{11}$ si legge un undicesimo;
$\frac{5}{7}$ si legge cinque settimi;
$\frac{1}{12}$ si legge un dodicesimo.

A volte per scrivere le frazioni si utilizza la scrittura del tipo $a / b$ , quindi $2 / 3$ $4 / 6$ $6 / 9$ …

Definizione 3.4 Si chiamano proprie le frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore. Esse rappresentano sempre una grandezza minore dell’intero.

Vi sono frazioni che pur essendo formate da numeratori e denominatori diversi rappresentano la stessa parte dell’intero.

Definizione 3.5 Si dicono equivalenti due frazioni che rappresentano la stessa parte dell’intero.

Proprietà 3.1 (Invariantiva delle frazioni) Se si moltiplica, o si divide, numeratore e denominatore di una stessa frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente alla frazione data.

Per trovare una frazione equivalente a una frazione assegnata è sufficiente moltiplicare per uno stesso numero il numeratore e il denominatore della frazione assegnata.

Esempio 3.2

Trovare due frazioni equivalenti a $\frac{4}{7}$ .

Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 si ha la frazione equivalente:

\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14} .

Moltiplicando numeratore e denominatore per 3 si ha la frazione equivalente:

\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21} .

Definizione 3.6 Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono due interi primi tra loro.

Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.

Esempio 3.3

Ridurre ai minimi termini la frazione $\frac{8}{12}$ .

Scompongo in fattori 8 e 12, ottengo $8 = 2^{3}$ e $12 = 3 \cdot 2^{2}$ . Calcolo il $MCD$ prendendo i fattori comuni con l’esponente più piccolo; in questo caso $2^{2}$ cioè 4. Divido numeratore e denominatore per 4:

\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3} .

Tutte le frazioni che hanno il denominatore (numero di parti in cui va divisa l’unità) uguale al numeratore (numero delle parti che vanno considerate) rappresentano l’intero:

\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{10}{10} = 1 .

Per esempio, se divido un quadrato in due parti uguali e ne prendo due parti ottengo l’intero; se divido un quadrato in tre parti uguali e ne prendo tre parti ottengo l’intero,…

Cosa significa costruire la grandezza $\frac{6}{2}$ del quadrato $Q$ ? Tutte le frazioni che hanno il numeratore che è multiplo del denominatore rappresentano un multiplo dell’intero:

\frac{6}{2} = 3, \frac{15}{3} = 5, \frac{72}{6} = 12 .

Definizione 3.7 Si chiamano apparenti le frazioni che hanno il numeratore multiplo del denominatore; esse rappresentano una grandezza multipla di quella presa come intero unitario.

Le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore rappresentano grandezze più grandi dell’intero. Infatti le parti da considerare (indicate dal numeratore) sono di più delle parti in cui è divisa l’unità (indicate dal denominatore).

\frac{5}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} .

Definizione 3.8 Si chiamano improprie le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore; esse rappresentano una grandezza maggiore della grandezza assegnata come intero.