6 Potenza

La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione che ha tutti i fattori uguali.

Definizione 1.8

Dati due numeri naturali $b$ , $e$ , l’operazione di potenza associa un terzo numero $p$ che si ottiene moltiplicando $e$ fattori tutti uguali a $b$ :

b^{e} = \underset{e volte}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}} = p

Ma questa definizione è sensata solo nel caso $e$ sia maggiore di 1. Quindi dobbiamo completarla:

Definizione 1.9

b^{e} = \begin{matrix} 1 & s e & e = 0 e b \neq 0 \\ b & s e & e = 1 \\ \underset{e v o l t e}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}} & negli altri casi \end{matrix}

Descrizione immagine: TODO

$\includegraphics[scale=0.35]{img/op_pot.png}$
Descrizione immagine: TODO

Il primo operando si chiama base, il secondo esponente e il risultato si chiama potenza.

Da osservare che $0^{0}$ non ha significato.

6.1 Proprietà delle potenze

I

Il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

\begin{matrix} a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} \end{matrix}

2^{5} \cdot 2^{6} = 2^{5 + 6} = 2^{11} .

La proprietà segue da questa osservazione:

a^{n} \cdot a^{m} = \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \cdot \underset{m volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} = \underset{n + m volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \cdot a)}} = a^{n + m} .

II

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

\begin{matrix} a^{n} : a^{m} = a^{n - m} \end{matrix}

4^{5} : 4^{3} = 4^{5 - 3} = 4^{2} .

La proprietà segue da questa osservazione:

\begin{matrix} a^{n} : a^{m} = \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} : \underset{m volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \\ = \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a : a) \cdot (a : a) \cdot \dots \cdot (a : a)}} \cdot \underset{n - m volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \\ = a^{n - m} . \end{matrix}

Il passaggio dalla (1.1) alla (1.2) avviene per la proprietà invariantiva della divisione.

III

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

\begin{matrix} (a^{n})^{m} = a^{n \cdot m} \end{matrix}

(6^{2})^{5} = 6^{2 \cdot 5} = 6^{10} .

La proprietà segue da questa osservazione:

(a^{n})^{m} = \overset{m volte}{\overset{⏞}{a^{n} \cdot a^{n} \cdot \dots \cdot a^{n}}} = \overset{m volte}{\overset{⏞}{\underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \cdot \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \cdot \dots \cdot \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}}}} = a^{n \cdot m} .

IV

Il prodotto di più potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

\begin{matrix} (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \end{matrix}

(2 \cdot 5)^{8} = 2^{8} \cdot 5^{8} .

La proprietà segue da questa osservazione:

(a \cdot b)^{n} = \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}} = \underset{n volte}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \cdot \underset{n volte}{\underset{⏟}{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}} = a^{n} \cdot b^{n} .

V

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

\begin{matrix} (a : b)^{n} = a^{n} : b^{n} \end{matrix}

(4 : 2)^{8} = 4^{8} : 2^{8} .

Le definizioni dei casi particolari di potenze si giustificano nel seguente modo:

\begin{matrix} a^{0} = a^{5 - 5} = a^{5} : a^{5} = 1, \\ a^{1} = a^{5 - 4} = a^{5} : a^{4} = a . \end{matrix}

Alla potenza $0^{0}$ non si assegna alcun valore perché applicando la definizione di $a^{0}$ si dovrebbe ottenere 1; applicando la definizione $0^{a}$ si dovrebbe ottenere 0, ma non è accettabile che il risultato dipenda da una scelta arbitraria della regola da usare.